Aufgaben zu Bruchgleichungen

Bestimme die Definitionsmenge der Bruchgleichung

Zur Lösung der Bruchgleichung musst du zuerst die Defintionsmenge bestimmen. Dafür musst du die Nenner der einzelnen Brüche herausschreiben und gleich $0$ setzen. Da in jedem vorkommenden Bruch der Nenner $x$ ist, reicht es diesen Nenner $x$ gleich $0$ zu setzen.

$x=0$

Setze den Nenner $x$ gleich $0$.

Du siehst jetzt, dass diese Gleichung bereits nach $x$ aufgelöst ist. Daher ist die Bruchgleichung nur für $x=0$ nicht definiert. Daher hat die Gleichung die Definitionslücke bei $x=0$ und du siehst:

$D=\mathbb{Q}\backslash \{0\}$

Gleichung bruchterm-frei machen

Nun musst du die Gleichung bruchterm-frei machen. Dafür kannst du zunächst die Gleichung vereinfachen:

$${\displaystyle \frac{7}{x}+\frac{8}{x}-1=\frac{1}{2}-6(\frac{2}{x}-2)}$$

Multipliziere die Klammern aus.

$${\displaystyle \frac{7}{x}+\frac{8}{x}-1=\frac{1}{2}-\frac{12}{x}+12}$$

Addiere $1$ auf beiden Seiten.

$${\displaystyle \frac{7}{x}+\frac{8}{x}=\frac{1}{2}-\frac{12}{x}+12+1}$$

Vereinfache:

$\frac{1}{2}+12+1=\mathrm{13,5}$

$${\displaystyle \frac{7}{x}+\frac{8}{x}=-\frac{12}{x}+\mathrm{13,5}}$$

Alle vorkommenden Nenner sind gleich, nämlich $x$. Der einzige Baustein ist $x$, daher ist auch der Hauptnenner $x$. Indem du jetzt die Gleichung mit diesem Hauptnenner multiplizierst, erhältst du eine bruchterm-freie Gleichung:

$${\displaystyle \frac{7}{x}+\frac{8}{x}=-\frac{12}{x}+\mathrm{13,5}}$$

Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner $x$.

$7+8=-12+\mathrm{13,5}x$

Löse die bruchterm-freie Gleichung

Jetzt kannst du die lineare bruchterm-freie Gleichung lösen.

$7+8=-12+\mathrm{13,5}x$

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung $12$.

$7+8+12=\mathrm{13,5}x$

Vereinfache den Term auf der linken Seite.

$27=\mathrm{13,5}x$

Dividiere beide Seiten der Gleichung durch $\mathrm{13,5}$.

$2=x$

Als Lösung der Gleichung erhältst du also $2$.

Angabe der Lösungsmenge

Du musst jetzt noch überprüfen, ob die Lösung der Gleichung auch in der Definitionsmenge liegt. Wegen $D=\mathbb{Q}\backslash \{0\}$ liegt $2$ in der Definitionsmenge und daher auch in der Lösungsmenge. Daher erhältst du: $𝕃=\{2\}$.

Die Lösungsmenge der Bruchgleichung ist also gegeben durch $𝕃=\{2\}$.