2017

1. Definitionsmenge

Wenn du die Definitionsmenge einer Bruchgleichung bestimmen willst, musst du dir die Frage stellen, für welche Werte von $x$ eine $0$ im Nenner eines Bruches stehen würde.

Du kannst also jeden Bruch, bei dem ein $x$ im Nenner vorkommt, nacheinander anschauen und dich dabei jedesmal fragen, für welchen Wert von $𝐱$ der Nenner $\mathrm{𝟎}$ sein würde. Diese Werte musst du aus der Definitionsmenge ausschließen.

Erster Bruch: $\frac{1}{x}$

Der Nenner dieses Bruches ist $x$. Das heißt, der Nenner wird $0$, wenn $x=0$ ist.

Zweiter Bruch: $\frac{3}{x+3}$

Der Nenner dieses Bruches ist $x+3$. Der Nenner wird also $0$, wenn $x+3=0$ ist. Diese Gleichung kannst du nach x auflösen:

Der Nenner dieses Bruches wird also $0$, wenn $x=-3$ ist.

Definitionsmenge aufschreiben

Jetzt hast du alle Brüche behandelt und kannst die Definitionsmenge aufschreiben:

2. Mit dem Hauptnenner multiplizieren

Jetzt kannst du beginnen, die Gleichung zu lösen. Dazu multiplizierst du die Gleichung mit dem Hauptnenner. Dieser ist: $x\cdot (x+3)$.

3. Gleichung auflösen

Nun kannst du die Bruchterme auf beiden Seiten kürzen und die Gleichung nach x auflösen:

4. Lösungsmenge

Du bist fast fertig. Mit den Berechnungen oben hast du folgendes herausgefunden: Wenn du die Bruchgleichung nach $x$ auflöst, kommt $x=\mathrm{1,5}$ raus. Nun musst du noch überprüfen, ob $\mathrm{1,5}$ in der Definitionsmenge $𝔻=\mathbb{Q}\setminus \{-3;0\}$ der Gleichung liegt.

Und tatsächlich: In der Definitionsmenge sind nur die $-3$ und die $0$ ausgeschlossen. Alle anderen rationalen Zahlen liegen innerhalb der Definitionsmenge - also auch die $\mathrm{1,5}$. Daher ist die Lösungsmenge der Gleichung:

Jetzt bist du fertig!