Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales

Randwinkel und zugehörige Mittelpunktswinkel

Der Randwinkelsatz (Umfangswinkelsatz; Peripheriewinkelsatz) besagt, dass ein Randwinkel gerade halb so groß ist, wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.

Klicke an was stimmt!
- Zum Randwinkel $φ_{1}$ gehört der Mittelpunktswinkel $β$ .
- Zum Randwinkel $φ_{1}$ gehört der Mittelpunktswinkel $α$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Randwinkelsatz
Zu einem Randwinkel gehört stets der "gegenüberliegende" Mittelpunktswinkel, d.h. derjenige, in dessen Winkelfeld der Randpunkt nicht liegt.
Zum Punkt $P_{1}$ gehört also der Mittelpunktswinkel $β$ .
Klicke an was stimmt!
- Zum Randwinkel $φ_{2}$ gehört der Mittelpunktswinkel $α$ .
- Zum Randwinkel $φ_{2}$ gehört der Mittelpunktswinkel $β$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Randwinkelsatz
$φ_{2}$ liegt nicht im Winkelfeld von $α$ . Also ist $α$ der zu $φ_{2}$ gehörende Mittelpunktswinkel und doppelt so groß wie $φ_{2}$ .
Die beiden Randwinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen sich zu 180°.
Zeige, dass hier also gilt:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Randwinkelsatz
$φ_{1} + φ_{2} = \frac{1}{2} β + \frac{1}{2} α = \frac{1}{2} (β + α) = \frac{1}{2} \cdot 360° = 180 °$

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