Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=2^{-x}\sin x$

Potenzgesetze anwenden.

$={\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to \infty }{\underbrace{2^x}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }{\displaystyle \frac{1}{2^x}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to -\infty }\underset{\to \infty }{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to 0}{\underbrace{2^x}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\sin x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to \infty }{\underbrace{x^2}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}=0$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\cdot \sin x={\lim }_{x\to -\infty }\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{\underset{\to \infty }{\underbrace{x^2}}}}}}\cdot \underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\sin x}}=0$

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=(2x+3)\cos x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }(2x+3)\cos x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to +\infty }{\underbrace{(2x+3)}}\underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\cos x}}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=(2x+3)\cos x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }(2x+3)\cos x={\lim }_{x\to +\infty }\underset{\to -\infty }{\underbrace{(2x+3)}}\underset{\in [-1;1]}{\underbrace{\cos x}}$

$\Rightarrow$ Kein Grenzwert da $\cos x$ keinen Grenzwert hat.

Verhalten gegen $+\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot 2^x$

Grenzwert gegen $+\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to +\infty }5\cdot \underset{\to +\infty }{\underbrace{2^x}}=+\infty$

Verhalten gegen $-\infty$

$f\left(x\right)=5\cdot 2^x$

Grenzwert gegen $-\infty$ bilden.

${\lim }_{x\to -\infty }5\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{2^x}}=0$