Mathe Geometrie Dreiecke, Vierecke, Kreise und andere ebene Figuren Dreieck Thaleskreis und Fasskreis Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales

Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales

Die Punkte $A, B, C$ liegen auf dem Halbkreis.

Gegeben sind weiter die Winkel $α = 45 °$ und $δ = 75 °$ .

Berechne die Winkel $ε, λ, β$ und $μ$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Innenwinkelsumme

Betrachte zunächst das Dreieck $△ A C D$ . Da die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer $180 °$ beträgt, kannst du folgende Gleichung aufstellen:

$α + ε + μ = 180 °$

Lösbar ist diese Gleichung nur, wenn dir zwei von den drei Winkeln bekannt sind. Den Wert für $α$ kannst du der Angabe entnehmen. $ε$ lässt sich mit Hilfe des Nebenwinkels $δ$ bestimmen.

$ε + δ = 180 °$

Löse nach $ε$ auf und setze für $δ$ den gegebenen Wert $75 °$ ein.

$ε = 180 ° - 75 ° = 105 °$

Setze $ε$ in die erste Gleichung ein und stelle nach $μ$ um.

$μ = 180 ° - 105 ° - 45 ° = 30 °$

Satz von Thales

Die Winkel $λ$ und $β$ sind noch zu bestimmen. Wende hierfür den Satz des Thales an und du erhältst folgende Gleichung:

$μ + λ = 90 °$

Da du $μ$ schon berechnet hast, kann die Gleichung nach $λ$ umgestellt und ausgerechnet werden.

$λ = 90 ° - 30 ° = 60 °$

Zuletzt kann $β$ mit Hilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck $△ B C D$ berechnet werden.

$λ + β + δ = 180 °$

Setze die Werte ein und du erhältst:

β = 180 ° - 75 ° - 60 ° = 45 °

Jetzt hast du alle Winkel berechnet, die zu berechnen waren:

$\begin{array}{l} β = 45 ° \\ α = 45 ° \\ δ = 75 ° \\ λ = 60 ° \\ μ = 30 ° \\ ϵ = 105 ° \end{array}$

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