Gruppe A

Hannah schreibt eine Folge von Gleichungen auf:

Stellen Sie unter Verwendung einer Variablen $n$ eine möglichst einfache Gleichung auf, die für n=1, n=2 und n=3 die angegebenen Gleichungen (1), (2) bzw. (3) liefert.Untersuchen Sie, ob die von Ihnen aufgestellte Gleichung für jede beliebige natürliche Zahl n (n = 1, 2, 3, 4, 5, …) richtig ist. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Variablen

Aufstellen einer Gleichung mit Variable n

Die Aufgabe ist, eine Formel mit der Variablen $n$ aufzustellen, die die Gleichungen $(1)$ bis $(3)$ verallgemeinert. Deshalb solltest du erst einmal die drei Gleichungen untersuchen. Versuche dabei herauszufinden, welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede die Gleichungen haben.

Als erstes fällt dir vermutlich auf, dass alle drei Formeln die gleiche Form haben. Am Ende sollte also auch die allgemeine Formel diese Form haben.

\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \cdot 2}

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3}

\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \cdot 4}

$\Rightarrow$ allgemeine Formel:

\frac{□}{□} - \frac{□}{□} = \frac{□}{□ \cdot □}

Als nächstes siehst du wahrscheinlich, dass die Zähler aller Brüche in den Formeln den Wert $1$ haben.

Da die Zähler also unveränderlich sind, sollten auch die Zähler der Brüche in der allgemeinen Formel gleich $1$ sein.

\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \cdot 2}

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3}

\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \cdot 4}

$\Rightarrow$ allgemeine Formel:

\frac{1}{□} - \frac{1}{□} = \frac{1}{□ \cdot □}

Betrachte nun die Nenner in den Brüchen der drei Formeln. Du siehst, dass der Nenner des Minuenden immer gleich der ersten Zahl im Nenner rechts ist.

Veränderst du also eine der beiden Zahlen, musst du automatisch auch die andere verändern um die Form (und auch die Richtigkeit) der Formel beizubehalten.

\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \cdot 2}

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3}

\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \cdot 4}

$\Rightarrow$ allgemeine Formel:

\frac{1}{n} - \frac{1}{□} = \frac{1}{n \cdot □}

Bleiben nun also noch die letzten beiden Zahlen der drei Formeln (also der Nenner des Subtrahenden und die zweite Zahl im Nenner der rechten Seite) zu betrachten.

Du kannst sehen, dass sie jeweils um $1$ größer sind als die Zahlen, die wir eben durch $n$ ersetzt haben. Folgerichtig ersetzen wir sie durch $(n + 1)$

\frac{1}{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \cdot 2}

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3}

\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \cdot 4}

$\Rightarrow$ allgemeine Formel:

\frac{1}{n} - \frac{1}{(n + 1)} = \frac{1}{n \cdot (n + 1)}

Nachweis für die Zahlen aus $(1)$ - $(3)$

$\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$	$=$	$\frac{1}{n \cdot (n + 1)}$
	↓	Prüfe ob die gefundene Formel für $(2)$ (mit $n = 2$ ) gültig ist.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2 + 1}$	$=$	$\frac{1}{2 \cdot (2 + 1)}$
	↓	Wenn du $2 + 1$ verrechnest, ist die Gleichung wie gewünscht.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$	$=$	$\frac{1}{2 \cdot 3}$
	↓	Auch für $(3)$ (mit $n = 3$ ) muss die Formel gültig sein.
$\frac{1}{3} - \frac{1}{3 + 1}$	$=$	$\frac{1}{3 \cdot (3 + 1)}$
	↓	Wenn du $3 + 1$ verrechnest, ist die Gleichung wie gewünscht.
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$	$=$	$\frac{1}{3 \cdot 4}$

Korrektheit für eine beliebige natürliche Zahl

$\frac{1}{n}$	$=$	$\frac{1}{n + 1}$
	↓	Beim Subtrahieren von Brüchen ist der Nenner entscheidend. Erweitere deswegen den Zähler und Nenner jedes Bruchs mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs.
	$=$	$\frac{n + 1}{n \cdot (n + 1)} - \frac{n}{n \cdot (n + 1)}$
	↓	Wir erhalten einen gemeinsamen Nenner. Schreibe nun beide Zähler auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\frac{n + 1 - n}{n \cdot (n + 1)}$
	↓	Verrechne den Zähler und du erhältst den gewünschten Bruch.
	$=$	$\frac{1}{n \cdot (n + 1)}$

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Gruppe A

Aufstellen einer Gleichung mit Variable n

Nachweis für die Zahlen aus (1) - (3)

Korrektheit für eine beliebige natürliche Zahl

Nachweis für die Zahlen aus $(1)$ - $(3)$