Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

Berechnung von $P(B)$

Aus dem linken Baumdiagramm kannst du folgende Werte entnehmen:

• $P(A)=\mathrm{0,4}=\frac{4}{10}$

• $P(\overline{A})=\mathrm{0,6}=\frac{6}{10}$

• $P_A(B)=\frac{3}{4}$

• $P_A(\overline{B})=\frac{1}{4}$

• $P_{\overline{A}}(B)=\frac{1}{3}$

• $P_{\overline{A}}(\overline{B})=\frac{2}{3}$

Um $P(B)$ zu berechnen, musst du die erste und zweite Pfadregel anwenden. Kurz gesagt, benutzt du den Multiplikationssatz:

$\begin{array}{rrl}P(B)& =& P_A(B)\cdot P(A)+P_{\overline{A}}(B)\cdot P(\overline{A})\\ P(B)& =& \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{10}+\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{10}\\ P(B)& =& \frac{3}{10}+\frac{2}{10}\\ P(B)& =& \frac{1}{2}\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für $P(B)$ beträgt also $\frac{1}{2}$.

Ergänzung des Baumdiagramms

Du hast bereits mithilfe der ersten Pfadregel folgende Wahrscheinlichkeiten berechnet:

• $P(A\cap B)=P_A(B)\cdot P(A)=\frac{3}{10}$

• $P(\overline{A}\cap B)=P_{\overline{A}}(B)\cdot P(\overline{A})=\frac{2}{10}$

Vervollständige den linken Baum:

• $P(A\cap \overline{B})=P_A(\overline{B})\cdot P(A)=\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{10}=\frac{1}{10}$

• $P(\overline{A}\cap \overline{B})=P_{\overline{A}}(\overline{B})\cdot P(\overline{A})=\frac{2}{3}\cdot \frac{6}{10}=\frac{2}{5}$

Aus dem ersten Teil der Frage weißt du, dass $P(B)=\frac{1}{2}$ gilt. Daraus folgt $P(\overline{B})=1-P(B)=\frac{1}{2}$ für den rechten Baum.

Diesmal sind dir die bedingten Wahrscheinlichkeiten unbekannt. Um diese auszurechnen, stellst du die erste Pfadregel um.

• $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{5}$

• $P_B(\overline{A})=\frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5}$

• $P_{\overline{B}}(A)=\frac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5}$

• $P_{\overline{B}}(\overline{A})=\frac{P(\overline{A}\cap \overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}$

Trage anschließend die Ergebnisse in beide Baumdiagramme ein.