Aufgaben zur Existenz von Dreiecken mit vorgegebenen Maßen

Begründe, mit welchen der folgenden Angaben du ein Dreieck eindeutig konstruieren kannst! Zeichne dir dazu eine Skizze mit den gegebenen Werten auf!

$a = 3 c m$ , $b = 5 c m$ , $c = 6 c m$
- Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
- Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
Konstruierbarkeit des Dreiecks
Zeichne zuerst eine Skizze, von dem Dreieck (ähnlich, wie der in der Angabe).
Die türkisen Seiten sind gegeben. Überlege nun, welchem Kongruenzsatz das entspricht.
Das Dreieck entspricht dem SSS-Satz, ist also prinzipiell konstruierbar.
Überprüfe nun noch, ob die beiden kürzeren Seiten zusammen größer als die lange Seite ist. Nur dann existiert das Dreieck überhaupt!
$a = 3 c m, b = 5 c m, c = 6 c m$
$a + b = 3 c m + 5 c m = 8 c m$
$8 c m > 6 c m$
$\to a + b > c$
Da $a + b > c$ ist, existiert das Dreieck und ist nach dem SSS-Satz auch konstruierbar!
$a = 5 c m$ , $b = 4 c m$ , $c = 10 c m$
- Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
- Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
Konstruierbarkeit des Dreiecks
Zeichne zuerst eine Skizze, von dem Dreieck (ähnlich, wie der in der Angabe).
Die türkisen Seiten sind gegeben. Überlege nun, welchem Kongruenzsatz das entspricht.
Das Dreieck entspricht dem SSS-Satz, ist also prinzipiell konstruierbar.
Überprüfe nun noch, ob die beiden kürzeren Seiten zusammen größer als die lange Seite ist. Nur dann existiert das Dreieck überhaupt!
$a = 5 c m, b = 4 c m, c = 10 c m$
$a + b = 5 c m + 4 c m = 9 c m$
$9 c m < 10 c m$
$\to a + b < c$
Da $a + b < c$ sind, existiert das Dreieck nicht und du kannst es daher auch nicht konstruieren. Die beiden Seiten $a$ und $b$ haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
$c = 7 c m, α = 45 °, β = 65 °$
- Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
- Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
Konstruierbarkeit des Dreiecks
Zeichne zuerst eine Skizze, von dem Dreieck (ähnlich, wie der in der Angabe) und markiere die gegebenen Größen.
Überlege, welchem Kongruenzsatz dieses Dreieck entspricht.
Da eine Seite und die zwei anliegenden Winkel gegeben sind, kannst du den WSW-Satz erkennen.
Dreiecke, die dem WSW-Satz entsprechen, sind eindeutig konstruierbar!
$b = 3 c m, a = 4 c m, γ = 50 °$
- Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
- Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
Konstruierbarkeit des Dreiecks
Zeichne zuerst eine Skizze (ähnlich, der in der Angabe) und markiere alle gegebenen Größen.
Überlege nun, welchem Kongruenzsatz dieses Dreieck entspricht!
Du hast zwei Seiten und den Winkel dazwischen gegeben. Daher entspricht das Dreieck dem SWS-Satz!
Nach dem SWS-Satz ist das Dreieck eindeutig konstruierbar!
$b = 7 c m, a = 3 c m, β = 70 °$
- Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
- Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
Konstruierbarkeit des Dreiecks
Zeichne zuerst eine Skizze (ähnlich der in der Angabe) und markiere die gegebenen Größen.
Überlege nun, um welchen Kongruenzsatz es sich handeln könnte.
Du hast zwei Seiten und einen Winkel gegeben. Der Winkel liegt nicht zwischen den gegebenen Seiten. Es handelt sich also entweder um den SsW oder um den sSW Satz.
Überprüfe, ob der Winkel gegenüber der großen (SsW-Satz) oder gegenüber der kleinen (sSW-Satz) liegt.
$a = 3 c m, b = 7 c m$
Du kannst schnell sehen, dass $b$ die größere der beiden Seiten ist. Diese liegt gegenüber von $β$ .
Du weißt jetzt also, dass es sich um den SsW-Satz handelt.
Dreiecke, die dem SsW-Satz entsprechen, sind eindeutig konstruierbar. Deshalb weißt du, dass dieses Dreieck konstruierbar ist!
$a = 7 c m, b = 3 c m, β = 70 °$
- Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
- Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
Konstruierbarkeit des Dreiecks
Zeichne zuerst eine Skizze (ähnlich der in der Angabe) und markiere die gegebenen Größen.
Überlege nun, um welchen Kongruenzsatz es sich handeln könnte.
Du hast zwei Seiten und einen Winkel gegeben. Der Winkel liegt nicht zwischen den gegebenen Seiten. Es handelt sich also entweder um den SsW oder um den sSW Satz.
Überprüfe, ob der Winkel gegenüber der großen (SsW-Satz) oder gegenüber der kleinen (sSW-Satz) liegt.
$a = 7 c m, b = 3 c m$
Du kannst schnell sehen, dass $a$ die größere der beiden Seiten ist. Diese liegt neben $β$ .
Du weißt jetzt also, dass es sich um den sSW-Satz handelt.
Dreiecke, die dem sSW-Satz entsprechen, sind nicht eindeutig konstruierbar. Es gibt immer zwei Möglichkeiten, sie mit diesen Angaben zu zeichnen.
$α = 45 °, β = 45 °, γ = 90 °$
- Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
- Das Dreieck ist nicht eindeutig konstruierbar.
Konstruierbarkeit des Dreiecks
Zeichne zuerst eine Skizze (ähnlich der in der Angabe) und markiere die gegebenen Größen.
Überlege nun, um welchen Kongruenzsatz es sich handelt.
Alle drei Winkel sind angegeben, es handelt sich also um den WWW-Satz.
Dreiecke, sind nach dem WWW-Satz nicht eindeutig konstruierbar.
Es müsste noch eine Seite angegeben sein, um die Größe des Dreiecks zu bestimmen.