Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

$a)$ Nebenstehende Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen A und B. Tragen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein.

$b)$ Im Vorfeld einer Wahl wird eine wahlberechtigte Person zufällig ausgewählt und befragt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

C: "Die Person ist älter als 50 Jahre."

D: "Die Person will die derzeitige Regierungspartei wählen."

Erläutern Sie, was in diesem Sachzusammenhang eine stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse C und D bedeuten würde.

Lösung zur Teilaufgabe a)

Da die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, gilt $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ . Durch Umformen erhältst du

$P (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ .

Durch Einsetzen von $P (A \cap B)$ und $P (A)$ erhältst du $P (B) = 0,4$ .

Es gilt $P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overline{B})$

Also ist $P (A \cap \overline{B}) = P (A) - P (A \cap B) = 0,3 - 0,12 = 0,18$ .

Auf ähnliche Weise erhältst du $P (\overline{A} \cap B) = P (B) - P (A \cap B) = 0,4 - 0,12 = 0,28$ .

$P (\overline{A}) = 1 - P (A) = 1 - 0,3 = 0,7$

$P (\overline{B}) = 1 - P (B) = 1 - 0,4 = 0,6$

$P (\overline{A} \cap \overline{B}) = P (\overline{A}) - P (\overline{A} \cap B) = 0,7 - 0,28 = 0,42$

Die ausgefüllte Vierfeldertafel:

	$P (A)$	$P (\overline{A})$
$P (B)$	0,12	0,28	0,4
$P (\overline{B})$	0,18	0,42	0,6
	0,3	0,7	1

Lösung zur Teilaufgabe b)

C und D sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:

$P_{D} (C) = P (C)$ und $P_{C} (D) = P (D)$ .

$P_{D} (C) = P (C)$

Das bedeutet im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person über 50 Jahre alt ist, unter Regierungsparteiwählern genauso groß ist, wie unter allen wahlberechtigten Personen.

$P_{C} (D) = P (D)$

Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person die Regierungspartei wählt, unter den über 50-Jährigen genauso groß ist wie unter allen Wahlberechtigten.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Lösung zur Teilaufgabe a)

Lösung zur Teilaufgabe b)

PD(C)=P(C)

PC(D)=P(D)

$P_{D} (C) = P (C)$

$P_{C} (D) = P (D)$