Aufgaben zum Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Um den Winkel ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ auszurechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten:

• Man kann ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ mit dem Sinus ausrechnen, oder

• man kann ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$mit dem Tangens berechnen.

Mathematisch einfacher ist die Lösung mit dem Tangens.

Lösung mit Hilfe des Sinus

Zunächst rechnen wir die Strecke von $A$ nach $C$ aus und erhalten dadurch ein rechtwinkliges Dreieck. $\begin{array}{rcl}\overline{AC}& =& \sqrt{{\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2}\\ \overline{AC}& =& \sqrt{(7\text{cm}{)}^2+(5\text{cm}{)}^2}\\ \overline{AC}& =& \sqrt{74}\text{cm}\end{array}$

Um den Winkel $\alpha$ auszurechen, teilen wir die Strecke von $A$ nach $C$ und die Strecke von $A$ nach $B$ jeweils durch $2.$ Somit können wir den Sinus anwenden um ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ auszurechnen. Danach multiplizieren wir den ausgerechneten Winkel mit $2$ und erhalten den gesuchten Winkel $\alpha$. $$

${\displaystyle \frac{\overline{BC}}{2}}={\displaystyle \frac{5cm}{2}}=\mathrm{2,5}cm$

${\displaystyle \frac{\overline{AC}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{74}}{2}}\text{cm}$

$\sin \left({\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\overline{BC}}{2}}}{{\displaystyle \frac{\overline{AC}}{2}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{74}}{2}}}}$

$\alpha =2\cdot {\sin }^{-1}{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{74}}{2}}\right)}}\approx 71°$