Aufgaben zu Extremwertproblemen

Lösung zu a) mit Scheitelpunktsbestimmung

$A(x)=-\mathrm{0,5}{x}^2+20x$

Der Koeffizient vor dem $x^2$ ist negativ , somit handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt ist ein Maximum.

Wir ermitteln die Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung .

Klammere zuerst $(-\mathrm{0,5})$ aus:  $A(x)=(-\mathrm{0,5})\cdot (x^2-40x)$

Der gemischte Term in der Klammer ist $-40x$, d.h. die quadratische

Ergänzung ist $({\displaystyle \frac{40}{2}}{)}^2={20}^2$.

Addiere in der Klammer ${20}^2$ und subtrahiere diesen Term gleich wieder: 

$A(x)=(-\mathrm{0,5})\cdot (x^2-40x+{20}^2-{20}^2)$

Fasse die ersten drei Terme in der Klammer mit Hilfe der 2. binomischen Formel zusammen: $$ $A(x)=(-\mathrm{0,5})\cdot ((x-20{)}^2-{20}^2)$

Löse die Klammer wieder auf:

$\text{}A(x)=(-\mathrm{0,5})\cdot (x-20{)}^2+(-\mathrm{0,5})\cdot (-{20}^2)=(-\mathrm{0,5})\cdot (x-20{)}^2+200$Lies den Scheitelpunkt ab: $S(20|200)$

Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt$x=20\mathrm{m}$

und der maximale Flächeninhalt $200{\mathrm{m}}^2$.

Es fehlt noch die Angabe der Zaunlänge $y$.

Setze $x=20$ in $y=20-\mathrm{0,5}\cdot x$ ein.

$y=20-\mathrm{0,5}\cdot 20=20-10=10$.

Antwort: Die Länge des senkrechten Zaunstückes beträgt $10\mathrm{m}$.

Lösung zu b) mit der Ableitung

$\text{}$

$A(x)=-\mathrm{0,5}{x}^2+20x\text{}$

Der Definitionsbereich der Variablen $x$ ist das Intervall $0<x<40$.

Für $\text{}x=0$  und für $x=40$ erhält man ein "entartetes" Rechteck (mit dem Flächeninhalt $0{\mathrm{m}}^2$), d.h. eine Strecke der Länge $40\mathrm{m}$.

Bedingung für ein Maximum: $A^{\prime }(x)=0$ und $$ $A^{\prime \prime }(x)<0$

Die beiden Ableitungen lauten:

$A^{\prime }(x)=-x+20$

$A^{\prime \prime }(x)=-1<0$

Setze $A^{\prime }(x)$ gleich Null: $0=-x+20\Rightarrow x=20$         

$x=20$ ist im Definitionsbereich von $$$A(x)$enthalten.

Da $A^{\prime \prime }(x)<0_{}$ ist, handelt es sich um ein Maximum.

Es fehlt noch die Angabe der zweiten Zaunlänge $y$.

Setze $x=20$ in $y=20-\mathrm{0,5}\cdot x$ ein: $$$y=20-\mathrm{0,5}\cdot 20=20-10=10$

Nun kann die maximale Fläche berechnet werden: $A=x\cdot y=20\cdot 10=200.$

Antwort: Die Länge des waagrechten Zaunstückes beträgt $x=20\mathrm{m}$, die Länge des senkrechten Zaunstückes $y$ ist $10\mathrm{m}$ und der maximale Flächeninhalt beträgt $200{\mathrm{m}}^2$.