Teil A

Punkte für Aufgabe 2.3: 2 P

Punkte für Aufgabe 2.4: 2 P

Teilaufgabe 2.1

Zu zeigen: $- 0,25 \cdot {(x - 3)}^{2} - 2,5 = - 0,25 x^{2} + 1,5 x - 4,75$

$y$	$=$	$- 0,25 \cdot {(x - 3)}^{2} - 2,5$
	↓	Binomische Formel auflösen.
	$=$	$- 0,25 \cdot (x^{2} - 6 x + 9) - 2,5$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$- 0,25 x^{2} + 1,5 x - 2,25 - 2,5$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$- 0,25 x^{2} + 1,5 x - 4,75$

Gerade g im Koordinatensystem:

Einzeichnen der Geraden (linearen Funktion) $g$ : $y = - 0,5 x + 4$

y-Achsenabschnitt ( $A$ ) bei $y = 4$

Steigung $m = - 0,5 = \frac{- 1}{2}$ ( $2 LE$ nach rechts und $1 LE$ nach unten.)

Parabel $p$ mithilfe einer Wertetabelle:

x	0	1	2	3	4	5	6
y	-4,75	-3,5	-2,75	-2,5	-2,75	-3,5	-4,75

Wertepaare nun in das Koordinatensystem einzeichnen.

Teilaufgabe 2.2

Einzeichnen des Rechtecks $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 5$ :

Koordinaten von $A_{1}$ berechnen. Setze dafür die Abszisse $x = 5$ in $A_{n} (x | - 0,5 x + 4)$ ein:

$A_{1} (5 | - 0,5 \cdot 5 + 4) = A_{1} (5 | - 2,5 + 4) = A_{1} (5 | 1,5)$

Koordinate von $D_{1}$ berechnen. Setze dafür die Abszisse $x = 5$ in $D_{n}$ ( $x | - 0,25 x^{2} + 1,5 x - 4,75$ ) ein:

$D_{1} (5 | - 0,25 \cdot {(5)}^{2} + 1,5 \cdot 5 - 4,75) = D_{1} (5 | - 3,5)$

$A_{n} B_{n} = 1,5 \cdot {A_{n} D_{n}}_{}$ :
- $A_{1} D_{1} = 1,5 - (- 3,5) = 5 LE$
- $A_{1} B_{1} = 1,5 \cdot 5 L E = 7,5 LE$

Koordinaten $A_{1}$ und $D_{1}$ einzeichnen und verbinden.
Zwei senkrechte Strecken zu $[A_{1} D_{1}]$ einzeichnen, mit Schnittpunkt in $A_{1}$ und $D_{1}$ mit einer Länge von $7,5 cm$ .

Eckpunkte verbinden.

Teilaufgabe 2.3

Länge der Seiten $[A_{n} D_{n}]$ in Abhängigkeit von x:

Um die Länge der Seiten zu berechnen, müssen die y-Koordinaten voneinander abgezogen werden: $A_{n} D_{n} (x) = (y_{A} - y_{D})$ $LE$

$A_{n} D_{n} (x)$	$=$	$(y_{A} - y_{D}) LE$
	$=$	$((- 0,5 x + 4) - (- 0,25 x^{2} + 1,5 x - 4,75)) LE$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$(- 0,5 x + 4 + 0,25 x^{2} - 1,5 x + 4,75) LE$
	↓	Zusammenfassen.
	$=$	$(0,25 x^{2} - 2 x + 8,75) LE$

$A_{n} B_{n} (x)$	$=$	$1,5 \cdot A_{n} D_{n}$
	↓	$A_{n} D_{n}$ einsetzen.
	$=$	$1,5 \cdot (0,25 x^{2} - 2 x + 8,75) LE$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$(0,375 x^{2} - 3 x + 13,125) LE$

Umfang u(x):

$u (x)$	$=$	$(2 \cdot (a + b)) LE$
	$=$	$(2 \cdot (A_{n} B_{n} + A_{n} D_{n})) LE$
	$=$	$(2 \cdot ((0,25 x^{2} - 2 x + 8,75) + (0,375 x^{2} - 3 x + 13,125))) LE$
	$=$	$(2 \cdot (0,625 x^{2} - 5 x + 21,875)) LE$
	$=$	$(1,25 x^{2} - 10 x + 43,75) LE$

Teilaufgabe 2.4

Wert x bei einem Umfang von $28,75 LE$ :

Setze $u (x)$ gleich $28,75 LE$ und löse nach $x$ auf. Nutze hierbei die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel) oder die pq-Formel:

$u (x)$	$=$	$(1,25 x^{2} - 10 x + 43,75) LE$
$28,75 L E$	$=$	$(1,25 x^{2} - 10 x + 43,75) LE$	$- 28,75 LE$
$0$	$=$	$(1,25 x^{2} - 10 x + 15) LE$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1,25 \cdot 15}}{2 \cdot 1,25}$
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{10 \pm 5}{2,5}$

Für $x_{1} = 6$ und $x_{2} = 2$ haben die zugehörigen Rechtecke $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ und $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ einen Umfang von $28,75 LE$ .

Teilaufgabe 2.5

Verdoppeln wir die Seitenlänge $[A_{n} D_{n}]$ , nimmt der Flächeninhalt $A$ der Rechtecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ um $300 %$ zu:

$\begin{array}{rcl} A_{vorher} & = & Länge \cdot Breite \\ = & A_{n} B_{n} \cdot A_{n} D_{n} \\ = & 1,5 \cdot A_{n} D_{n} \cdot A_{n} D_{n} \\ = & 1,5 \cdot {A_{n} D_{n}}^{2} \\ = & 1,5 \cdot {Breite}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} A_{nachher} & = & 1,5 \cdot ({Breite}_{neu})^{2} \\ = & 1,5 \cdot (2 \cdot A_{n} D_{n})^{2} \\ = & 1,5 \cdot 4 \cdot {A_{n} D_{n}}^{2} \\ = & 4 \cdot (1,5 \cdot {A_{n} D_{n}}^{2}) \\ = & 4 \cdot A_{vorher} \end{array}$

Der Flächeninhalt vervierfacht sich. Das heißt, er steigt um $300 %$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org