Aufgaben mit zwei Unbekannten

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Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.
- $\begin{array}{rrll} I & 2 & = & a & + & b & + & c \\ II & 3 & = & a & - & b & + & c \\ III & 1 & = & c \end{array}$
- $\begin{array}{rrll} I & x & + & y & = & 2 \\ II & 5 & - & y & = & 4 \end{array}$
- $\begin{array}{rrll} I & x & = & 1 \\ II & y & = & 2 \end{array}$
- $\begin{array}{rrll} I & x & = & 0 \\ II & x & = & 2 \end{array}$
- $\begin{array}{rrll} I & \frac{7}{x} & - & \frac{12}{y} & = & \frac{5}{6} \\ II & x & - & y & = & 2 \end{array}$
- $\begin{array}{rrll} I & - 3 & = & x & + & 2 y \\ II & 1 & = & x^{2} & + & y \end{array}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungsystem
Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:
Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.
Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten $1$ auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.
Überprüfe nun die beiden Kriterien.
Du erkennst, dass…
$\begin{array}{rrll} I & \frac{7}{x} & - & \frac{12}{y} & = & \frac{5}{6} \\ II & x & - & y & = & 2 \end{array}$
… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der ersten Gleichung sowohl $x$ als auch $y$ den Exponenten $- 1$ haben.
Du erkennst weiter, dass…
$\begin{array}{rrll} I & - 3 & = & x & + & 2 y \\ II & 1 & = & x^{2} & + & y \end{array}$
… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil $x$ in der zweiten Gleichung mit dem Exponenten $2$ auftaucht.
In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um lineare Gleichungssysteme.
Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
$\begin{array}{rrll} I & - 3 & = & x & + & 2 y \\ II & 1 & = & x & + & 2 y \end{array}$
- keine
- unendlich viele
- genau eine
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarbarkeit von Gleichungssystemen
Du zeigst, dass die Gleichungen $I$ und $II$ nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.
Subtrahiere Gleichung $II$ von Gleichung $I$ .
$\begin{aligned} I - II \to & - 4 & = & 0 \end{aligned}$
Die Gleichung ist offensichtlich falsch. Damit ist auch das gegebene Gleichungssystem falsch und hat keine Lösung.
Die Lösungsmenge ist somit $𝕃 = {}$ .
Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?
$\begin{array}{rrll} I & \frac{9}{2} x & - & \frac{3}{2} y & = & 3 \\ II & 3 x & = & 2 & + & y \end{array}$
- unendlich viele
- genau eine
- keine
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit von Gleichungssystemen
Du zeigst, dass die Gleichungen $I$ und $II$ äquivalent sind. Das heißt, jedes $x$ und $y$ , das Gleichung $I$ löst, liefert auch für Gleichung $II$ eine wahre Aussage.
Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.
Stelle zunächst Gleichung $II$ nach y um.
$\begin{array}{rrll} II & 3 x & = & 2 & + & y & | - 2 \end{array}$
$\begin{array}{lrll} {II}^{'} & 3 x & - & 2 & = & y \end{array}$
Setze nun ${II}^{'}$ in Gleichung $I$ ein. Du erhältst die neue Gleichung $I^{'}$ .
$\begin{array}{rrll} I^{'} & \frac{9}{2} x & - & \frac{3}{2} (3 x - 2) & = & 3 \end{array}$
Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.
$\begin{array}{rrll} I^{'} & 3 & = & 3 \end{array}$
Die Gleichung $I^{'}$ ist wahr und zwar unabhängig von $x$ . Es gibt also unendlich viele Lösungen.
$𝕃 = {(x | y) | y = 3 x - 2}$
Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
$\begin{array}{rrll} I & 2 x & + & y & = & \frac{5}{6} \\ II & x & - & 2 y & = & 2 \end{array}$
- genau eine
- unendlich viele
- keine
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit der Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach $x$ und $y$ aufgelöst werden kann.
Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung $I$ sehr einfach nach $y$ umstellen kann.
Stelle zunächst Gleichung $I$ nach $y$ um.
$\begin{array}{rrll} I & 2 x & + & y & = & \frac{5}{6} & | - 2 x \end{array}$
$\begin{array}{rrll} I^{'} & y & = & \frac{5}{6} & - & 2 x \end{array}$
Setze nun $I^{'}$ in Gleichung $II$ ein. Du erhältst die neue Gleichung $I I^{'}$ .
$\begin{array}{rrll} I I^{'} & x & - & 2 (\frac{5}{6} - 2 x) & = & 2 \end{array}$
Fasse die linke Seite zusammen.
$\begin{array}{rrll} I I^{'} & 5 x & - & \frac{5}{3} & = & 2 \end{array}$
Löse nach $x$ auf.
$x = \frac{11}{15}$
$x = \frac{11}{15}$ zum Beispiel in Gleichung $I$ ein, um $y$ zu bestimmen.
$\begin{array}{rrll} I & 2 \cdot (\frac{11}{15}) & + & y & = & \frac{5}{6} \end{array}$
Löse nach $y$ auf.
$y = - \frac{19}{30}$
Es gibt also genau eine Lösung.

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