Sonstige Kombinations- und Kombinatorikaufgaben

Sie unterscheiden sich um mindestens 18, z. B. 3597 ? 3579.

Es gibt 24 verschiedene PIN. Dabei haben zwei verschiedene PIN eine besonders kleine Differenz, wenn die ersten beiden Stellen identisch sind, denn nur dann liegt die Differenz unter 100.

Liegen die beiden hinteren Ziffern näher beieinander, ist die Differenz niedriger. Also können die beiden hinteren Ziffern z.B. 35 und 53 sein oder 57 und 75 oder 79 und 97. In allen drei Fällen beträgt der Unterschied 18.

Allgemeiner Lösungsansatz:

Nehmen wir an, wir wollen 2 Ziffern $a$ und $b$ vertauschen, die in Positionen $A$ und $B$ stehen, z.B.:

$\begin{array}{r}X=5a3b\\ Y=5b3a\end{array}$

mit $A=3,B=1$. Die Ersetzung $a\to b$ erhöht die Zahl um

$(b-a)\cdot {10}^{A-1}$

Die Ersetzung $b\to a$ erhöht die Zahl wiederum um

$(a-b)\cdot {10}^{B-1}$

wobein auch "negative Erhöhungen" (= Verringerungen) möglich sind. Insgesamt erhöht sich die Zahl damit um

$Y-X=(b-a)\cdot ({10}^{A-1}-{10}^{B-1})$

Der Betrag dieser Differenz wird möglichst klein, wenn sowohl $b$ und $a$, als auch ${10}^{A-1}$ und ${10}^{B-1}$ möglichst nahe beieinander liegen. Im Fall der 4-stelligen Pin aus den Ziffern 3,5,7,9 ist die Wahl $A=2,B=1$ (die letzten beiden Ziffern werden vertauscht) sowie $(b-a)=2$ optimal, z.B.

$\begin{array}{r}X=3597\\ Y=3579\end{array}$

$\Rightarrow Y-X=(2)\cdot ({10}^{2-1}-{10}^{1-1})=2\cdot 9=18$

Die minimale Differenz zwischen 2 PINs ist demnach 18.