Aufgaben zu Steigung und Differenzierbarkeit anhand des Graphen

Lösungsschritte:

1. x(A), x(C) und x(E) liefern die einzigen (!) Nullstellen von f'.

2. Links von A sind die Tangenten von f linksgeneigt. Also gilt: $x\to -\infty \Rightarrow f^{\prime }(x)\to -\infty$

3. B ist Wendepunkt von f und liefert mit seiner Tangentenneigung (Schätzwert 76°) das lokale Maximum von f' mit $\approx \mathrm{4,2}$.

4. Auch D ist Wendepunkt von f und liefert mit seiner Tangentenneigung (Schätzwert 115°) das lokale Minimum von f' mit $\approx -\mathrm{2,1}$

5. Zwischen den Wendepunkten B und D ist f' fallend.

6. Rechts von E sind die Tangenten von f zunehmend rechtsgeneigt. Also gilt: $x\to +\infty \Rightarrow f^{\prime }(x)\to +\infty$.

Allgemeine Aussagen über die Ableitungsfunktion $e^{\prime }$

Durchführung des graphischen Differenzierens

Lösungsschritte zum graphischen Differenzieren der $e$-Funktion

1. Wähle einen beliebigen Punkt $P(x_0|e(x_0))$ auf dem Graphen von $e$.

2. Lege in $P$ "gefühlsmäßig" die Tangente an den Graphen von $e$.

3. Schätze den Neigungswinkel $\alpha$ der Tangente.

4. Lies am Taschenrechner $\tan (\alpha )=e^{\prime }(x_0)$ ab.

5. Trage den Punkt $P^{\prime }(x_0|e^{\prime }(x_0))$ ein.

6. Wenn du gut geschätzt hast, sollten $P$ und $P^{\prime }$ zusammenfallen, da im Idealfall gilt: $\tan (\alpha )=e^{\prime }(x_0)=e(x_0)$.

7. Überprüfe das Ergebnis aus den Schritten 1-6 an weiteren Punkten. Zum Beispiel an den Punkten A, B und C.

Endergebnis:

Die $e$-Funktion stimmt mit ihrer Ableitungsfunktion $e^{\prime }$ überein. Die Graphen beider Funktionen fallen zusammen.

Klicke im anschließenden Applet auf den Punkt P der $e$-Funktion und verschiebe ihn. Überzeuge dich, dass für jeden Punkt P gilt $e(x(P))=e^{\prime }(x(P))$.