Aufgaben mit zwei Unbekannten

Löse die Gleichungssysteme.

Gib die Lösungsmenge in der Form $(x; y)$ in das Eingabefeld ein. Beispiel: $(- 2,5; 1)$

$I) 3 x + 4 = 2 y$
$II) 4 y = 2 x + 10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren
Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren
$\begin{array}{rrcl} I) & 3 x + 4 & = & 2 y \\ II) & 4 y & = & 2 x + 10 \end{array}$
1. Beide Gleichungen nach y auflösen
Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. In diesem Fall ist $y$ schon einzeln, also ist es einfacher nach $y$ aufzulösen.
$\begin{array}{rrcll} I) & 3 x + 4 & = & 2 y & | : 2 \\ \Rightarrow I^{'}) & 1,5 x + 2 & = & y \end{array}$
$\begin{array}{rrcll} II) & 4 y & = & 2 x + 10 & | : 4 \\ \Rightarrow {II}^{'}) & y & = & 0,5 x + 2,5 \end{array}$
2. Gleichsetzen
Setze die beiden Gleichungen $I^{'}$ und $I I^{'}$ gleich.
$\Rightarrow 1,5 x + 2 = 0,5 x + 2,5$
3. Gleichung nach x auflösen
$1,5 x + 2$ $=$ $0,5 x + 2,5$ $- 0,5 x$
$x + 2$ $=$ $2,5$ $- 2$
$x$ $=$ $0,5$
4. x einsetzen, um y heraus zu finden
Setze $x$ in $I^{'}$ oder $I I^{'}$ ein.
$\begin{array}{l} y = 0,5 \cdot 0,5 + 2,5 \\ = 0,25 + 2,5 \\ = 2,75 \end{array}$
Gib die Lösungsmenge an.
$L = {(0,5; 2,75)}$
$I) y - 1 = 2 x + 3$
$II) 2 y - 2 = 5 x - 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren
Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren
$\begin{array}{lrcll} I) & y - 1 & = & 2 x + 3 \\ II) & 2 y - 2 & = & 5 x - 1 \end{array}$
1. Beide Gleichungen nach x auflösen
Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Zum Beispiel nach der Variablen $x$ .
$\begin{array}{lrcll} I) & y - 1 & = & 2 x + 3 & | - 3 \\ I^{'}) & y - 4 & = & 2 x & | : 2 \\ I^{''}) & 0,5 y - 2 & = & x \end{array}$
$\begin{array}{lrcll} II) & 2 y - 2 & = & 5 x - 1 & | + 1 \\ {II}^{'}) & 2 y - 1 & = & 5 x & | : 5 \\ {II}^{''}) & 0,4 y - 0,2 & = & x \end{array}$
2. Gleichsetzen
Setze die beiden Gleichungen $I^{''}$ und $I I^{''}$ gleich.
$\Rightarrow 0,5 y - 2 = 0,4 y - 0,2$
3. Gleichung nach y auflösen
$0,5 y - 2$ $=$ $0,4 y - 0,2$ $+ 2$
$0,5 y$ $=$ $0,4 y + 1,8$ $- 0,4 y$
$0,1 y$ $=$ $1,8$ $: 0,1$
$y$ $=$ $18$
4. $y$ einsetzen, um $x$ heraus zu finden
$y$ in $I^{''}$ einsetzen
$0,5 \cdot 18 - 2 = x = 9 - 2 = 7$
Gib die Lösungsmenge an
$L = {(7,18)}$
$I) 2 x + 3 y = 4 x - 5$
$II) 3 x - 2 y = 2 y + 8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichsetzungsverfahren
Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren
$I) 2 x + 3 y = 4 x - 5$
$II) 3 x - 2 y = 2 y + 8$
1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen
Löse beispielsweise nach $y$ auf
$\begin{array}{lrll} I) & 2 x + 3 y & = & 4 x - 5 | - 2 x \\ I^{'}) & 3 y & = & 2 x - 5 | : 3 \\ I^{''}) & y & = & \frac{2}{3} x - \frac{5}{3} \end{array}$
$\begin{array}{lrcll} II) & 3 x - 2 y & = & 2 y + 8 & | + 2 y - 8 \\ {II}^{'}) & 3 x - 8 & = & 4 y & | : 4 \\ {II}^{''}) & \frac{3}{4} x - 2 & = & y \end{array}$
2. Gleichsetzen
Setze $I^{''}$ und $I I^{''}$ gleich.
$\begin{array}{lrl} \Rightarrow & \frac{3}{4} x - 2 & = & \frac{2}{3} x - \frac{5}{3} \end{array}$
3. Nach der einen Variable auflösen
Löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{rcll} \frac{3}{4} x - 2 & = & \frac{2}{3} x - \frac{5}{3} & | - \frac{2}{3} x \\ \frac{3}{4} x - \frac{2}{3} x - 2 & = & - \frac{5}{3} & | + 2 \\ \frac{9}{12} x - \frac{8}{12} x & = & - \frac{5}{3} + 2 \\ \frac{1}{12} x & = & \frac{1}{3} & | \cdot 12 \\ x & = & 4 \end{array}$
4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden
Setze $x$ beispielsweise in $I I^{'}$ ein.
$\begin{aligned} \frac{3}{4} \cdot (4) - 2 & = & y \\ 3 - 2 & = & y \\ y & = & 1 \end{aligned}$
$4$ wird für $x$ eingesetzt.
Lösungsmenge angeben!
$L = {(4,1)}$