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Aufgaben zu beliebigen n-ten Wurzeln

Bestimme die Lösung der Gleichung.

$\sqrt[5]{x} = 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$\sqrt[5]{x}$ $=$ $3$ $↑ 5$
↓
Beide Seiten mit $5$ potenzieren.
$(\sqrt[5]{x})^{5}$ $=$ $3^{5}$
↓
Potenziere.
$x$ $=$ $243$
$\sqrt[5]{x} = - 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$\sqrt[5]{x}$ $=$ $- 3$ $↑ 5$
↓
Mit $5$ potenzieren.
$(\sqrt[5]{x})^{5}$ $=$ $(- 3)^{5}$
↓
Potenziere.
$x$ $=$ $- 243$
$x^{\frac{3}{2}} = 27$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$x^{\frac{3}{2}}$ $=$ $27$
↓
Schreibe $x^{\frac{3}{2}}$ in Wurzelschreibweise um.
${\sqrt{x}}^{3}$ $=$ $27$ $\sqrt[3]{}$
↓
Ziehe auf beiden Seiten die dritte Wurzel.
$\sqrt[3]{(\sqrt{x})^{3}}$ $=$ $\sqrt[3]{27}$
$\sqrt{x}$ $=$ $3$ $↑ 2$
↓
Quadriere.
$x$ $=$ $9$

$x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{8}$

$x^{- \frac{1}{2}} < \frac{1}{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$x^{- \frac{1}{2}}$ $<$ $\frac{1}{2}$
↓
$x^{- \frac{1}{2}}$ in Wurzelschreibweise umschreiben.
$\sqrt{x^{- 1}}$ $<$ $\frac{1}{2}$
↓
$x^{- 1}$ in Bruchschreibweise umschreiben.
Es gilt: $x^{- m} = \frac{1}{x^{m}}$
$\sqrt{\frac{1}{x}}$ $<$ $\frac{1}{2}$ $↑ 2$
↓
Auf beiden Seiten quadrieren.
$(\sqrt{\frac{1}{x}})^{2}$ $<$ $(\frac{1}{2})^{2}$
$\frac{1}{x}$ $<$ $\frac{1}{4}$ $\cdot 4 \cdot x$
$4$ $<$ $x$
$\Rightarrow x > 4$
$\sqrt[3]{2 x - 1} = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzieren
$\sqrt[3]{2 x - 1}$ $=$ $2$ $↑ 3$
↓
Beide Seiten mit 3 potenzieren.
${(\sqrt[3]{2 x - 1})}^{3}$ $=$ $2^{3}$
$2 x - 1$ $=$ $8$ $+ 1$
↓
Gleichung nach x auflösen.
$2 x$ $=$ $9$ $: 2$
$x$ $=$ $4,5$

${(2 x + 1)}^{- 3} = 8$

${(2 x + 3)}^{- 4} = 0,0625$

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