Aufgaben zu beliebigen n-ten Wurzeln

Fasse so weit wie möglich zusammen.

$\sqrt[3]{z \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{z}}}$

$y^{1 \frac{1}{2}} \cdot y^{- 0,75} \cdot {(\sqrt[4]{y})}^{5}$

$u^{- 0,5} : (u^{- \frac{1}{3}} \cdot u^{- \frac{1}{6}})$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$\sqrt[3]{z \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{z}}}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\sqrt[3]{z \cdot \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{z}}}$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\sqrt[3]{z \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{z}}}$
	$=$	$\sqrt[3]{\frac{z}{\sqrt[4]{z}}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{z}}}$
	$=$	$\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z^{\frac{1}{4}}}}$
	$=$	$\frac{\sqrt[3]{z}}{{(z^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{3}}}$
	$=$	$\frac{\sqrt[3]{z}}{z^{\frac{1}{12}}}$
	$=$	$\frac{z^{\frac{1}{3}}}{z^{\frac{1}{12}}}$
	$=$	$z^{\frac{1}{3} - \frac{1}{12}}$
	↓	Exponenten auf gleichen Nenner bringen also $\frac{1}{3}$ mit $4$ erweitern .
	$=$	$z^{\frac{4}{12} - \frac{1}{12}}$
	↓	Exponenten subtrahieren.
	$=$	$z^{\frac{3}{12}}$
	↓	Exponent kürzen.
	$=$	$z^{\frac{1}{4}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\sqrt[4]{z}$

$y^{1 \frac{1}{2}} \cdot y^{- 0,75} \cdot {(\sqrt[4]{y})}^{5}$	$=$
	↓	Exponenten in ganze Brüche umformen.
	$=$	$y^{\frac{3}{2}} \cdot y^{- \frac{3}{4}} \cdot {(\sqrt[4]{y})}^{5}$
	↓	Verwende $\sqrt[4]{y} = y^{\frac{1}{4}}$ .
	$=$	$y^{\frac{3}{2}} \cdot y^{- \frac{3}{4}} \cdot {(y^{\frac{1}{4}})}^{5}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$y^{\frac{3}{2}} \cdot y^{- \frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{4}}$
	$=$	$y^{\frac{3}{2} + (- \frac{3}{4}) + \frac{5}{4}}$
	↓	Hauptnenner bilden $(4) .$
	$=$	$y^{\frac{6}{4} - \frac{3}{4} + \frac{5}{4}}$
	$=$	$y^{2}$

$u^{- 0,5} : (u^{- \frac{1}{3}} \cdot u^{- \frac{1}{6}})$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} : (\frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{u^{\frac{1}{6}}})$
	↓	Klammer zusammenfassen. Wegen Division mit Kehrbruch multiplizieren .
	$=$	$\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}} \cdot u^{\frac{1}{6}}}{1}$
	↓	Zu einem Bruch zusammenfassen.
	$=$	$\frac{u^{\frac{1}{3}} \cdot u^{\frac{1}{6}}}{u^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$\frac{u^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}}{u^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Nenner erweitern.
	$=$	$\frac{u^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}}}{u^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Exponenten summieren.
	$=$	$\frac{u^{\frac{3}{6}}}{u^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Exponent kürzen.
	$=$	$\frac{u^{\frac{1}{2}}}{u^{\frac{1}{2}}}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$1$