Aufgaben zu Äquivalenzrelationen

Tipp: Untersuche, ob die Relation reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv und/oder linear ist.

• ''reflexiv:'' Für jedes Buchexemplar $x$ gilt: $x$ und $x$ besitzen dieselbe ISB-Nummer. Sprich: ein Buchexemplar hat immer dieselbe ISB-Nummer wie es selbst.

• ''nicht irreflexiv:'' Weil die Grundmenge nicht leer ist, gibt es mindestens ein Buchexemplar $x$. Dieses steht mit sich selbst in Relation, weil die Relation reflexiv ist, und damit ist die Relation nicht irreflexiv.

• ''symmetrisch:'' Wenn $x$ und $y$ dieselbe ISB-Nummer besitzen, dann besitzen auch $y$ und $x$ dieselbe ISB-Nummer.

• ''nicht antisymmetrisch:'' Es gibt mindestens zwei verschiedene Buchexemplare $x$ und $y$, die dieselbe ISB-Nummer besitzen. Für diese beiden Exemplare steht zwar $x$ in Relation zu $y$ und y in Relation zu $x$, aber es ist $x\ne y$.

• ''transitiv:'' Wenn die Buchexemplare $x$ und $y$ dieselbe ISB-Nummer besitzen und die Buchexemplare $y$ und $z$ dieselbe ISB-Nummer besitzen, dann besitzen auch $x$ und $z$ dieselbe ISB-Nummer.

• ''nicht-linear:'' Nehme zwei verschiedene Buchexemplare $x$ und $y$, so dass beide eine verschiedene ISB-Nummer haben. Dann steht weder $x$ mit $y$ noch $y$ mit $x$ in Relation. Damit ist die Relation nicht linear.