Gemischte Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine $2$ vorkommt.

Verwende das Gegenereignis.

$P("mind.eine2")$ $=1-P("keine2")$

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. Es gilt:

Da keine $2$ vorkommen soll, gibt es nur noch $3$ Ziffern für die $4$ stellige Zahl. Wie in Teilaufgabe b) erhälst du z.B. mithilfe eines Baumdiagramms, dass $|A|=3^4$ ist.

$|A|=|\{"keine2"\}|=3^4$

$|\mathrm{\Omega }|=4^4$ (Teilaufgabe b) )

$\Rightarrow P("keine2")={\left(\frac{3}{4}\right)}^4$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gebildete vierstellige Zahl am Ende eine 2 enthält.

Es gilt:

$P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\mathrm{\Omega }\right|}=\frac{|\{\text{"Zahl enthält eine 2 am Ende"}\}|}{|\mathrm{\Omega }|}$

Die Mächtigkeit von $\mathrm{\Omega }$ wurde bereits in Teilaufgabe b) bestimmt. Bestimme die Mächtigkeit des Ereignisses $A$, dass die vierstellige Zahl, eine $2$ am Ende enthält.

Da der letzte Platz fix ist und die Ziffern mehrmals vorkommen können, können 4 Zahlen für 3 Plätze gewählt werden.

$\Rightarrow |A|=4^3$

Berechne nun $P(A)$.

$P(A)=\frac{\left|A\right|}{\left|\mathrm{\Omega }\right|}=\frac{|\{\text{"Zahl enthält eine 2 am Ende"}\}|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{4^3}{4^4}=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}=25\%$

Alternativ: Einfacher ist, zu erkennen, dass die $3$ vorderen Stellen für die Lösung irrelevant sind. Eine Ziffer von 4 an einer Stelle zu wählen, hat eben einfach eine Wahrscheinlichkeit von $25\%$.