Gemischte Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Prüfe: $\sin (x+y)=\sin (x)+\sin (y)$

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\sin (x+y)$ und $\sin (x)+\sin (y)$ an beispielsweise $x=y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

$\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=1$ und

$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\sin (\pi )=0$

Damit ist $\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2})\ne \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)$

Und daher im Allgemeinen: $\sin (x+y)\ne \sin (x)+\sin (y)$

Beachte, dass es durchaus Stellen $x,y$ gibt, welche die Gleichung erfüllen. Zum Beispiel $x=y=0$, denn es ist $\sin (0)=0$. Es war jedoch nach der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung gefragt.

Prüfe: $\cos (x)+\cos (y)=\cos (x+y)$

Betrachte den Graphen der Sinusfunktion und prüfe die Werte von $\cos (x+y)$ und $\cos (x)+\cos (y)$ an beispielsweise $x=y=0$. Beachte, dass die Gleichung nicht mehr erfüllt ist, wenn die Gleichung an einem expliziten Punkt nicht gilt.

$\cos (0)+\cos (0)=2$

$\cos (0+0)=\cos (0)=1$

Damit ist allgemein $\cos (x)+\cos (y)\ne \cos (x+y).$