Aufgaben zur Nullstelle

Gegeben:

Polynomfunktion vom Grad $3$

Nullstellen bei $x_1=-3,x_2=2,x_3=4$ und Punkt $(\mathrm{0,2})$

Gesucht: Skizze von Graph

Zeichne zuerst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Die Nullstellen liegen auf der $x$-Achse.

Da die Funktion vom Grad $3$ ist, kann es keine weiteren Nullstellen geben und die drei Nullstellen sind einfache Nullstellen.

Der Verlauf geht also von $(-\mathrm{3,0})$ zu $(\mathrm{0,2})$ und dann zu $(\mathrm{2,0})$. Wichtig ist, dass er NICHT nochmal die $x$-Achse schneidet. Wo der Hochpunkt zwischen $-3$ und $2$ genau ist, ist egal.

Zeichne als Nächstes den Graph zwischen $2$ und $4$ weiter. Dort verläuft er im negativen Bereich. Auch hier ist egal, wo der Tiefpunkt zwischen $2$ und $4$ genau ist.

Zeichne jetzt den ganzen Graphen. Auch $(-\mathrm{3,0})$ und $(\mathrm{4,0})$ sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse.

Gegeben: Polynomfunktion vom Grad $4$, genau eine doppelten Nullstelle, und der Graph symmetrisch zur $y$-Achse

Gesucht: Skizze eines möglichen Graphen

Überlege zunächst, wo die doppelte Nullstelle hinkommt. Da der Graph symmetrisch zur $y$-Achse ist, muss sie bei $(\mathrm{0,0})$ sein, denn wenn sie z.B. bei $(\mathrm{2,0})$ wäre, müsste durch die Symmetrie bei $(-\mathrm{2,0})$ auch eine sein. Ob der Graph die $x$-Achse von unten oder von oben berührt, ist beides richtig.

Zeichne jetzt den weiteren Verlauf.

Beachte dabei: Die Funktion ist vom Grad $4$, also hat sie höchstens zwei weitere Nullstellen. Außerdem auch nur maximal $3$ Extremstellen.

Gegeben: Polynomfunktion vom Grad $6$, zwei mehrfache Nullstellen

Gesucht: Skizze von möglichem Graphen

Bei dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, hier wird eine $3$-fache Nullstelle bei $x=-1$ und eine doppelte Nullstelle bei $x=2$ verwendet.

Du kannst aber beispielsweise auch zwei $3$-fache Nullstellen einzeichnen, oder zwei doppelte, oder eine doppelte und eine $4$-fache.

Skizziere als Erstes den Verlauf der Funktion an einer Nullstelle.

Überlege dann den Verlauf zur zweiten Nullstelle und wie er dort weiterläuft.

Ergänze jetzt den Graphen noch so, dass er zu einer Funktion vom Grad $6$ passt. Dabei ist wichtig, dass der Graph entweder auf beiden Seiten nach $+\infty$ oder auf beiden Seiten nach $-\infty$ läuft.

Achte darauf, dass die Vielfachheiten der Nullstellen insgesamt höchstens $6$ ergeben. Hier ist es eine $3$-fache, eine doppelte und noch eine einfache Nullstelle.