Gemischte Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Berechne $\sin \left(\frac{5\pi }{2}\right)$. Die Sinusfunktion ist periodisch mit Periode $2\pi$.

$\sin \left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\right)+\tan (1-\sin \left(\frac{5\pi }{2}\right))$

$=\sin \left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\right)+\tan (1-\sin (\frac{\pi }{2}+2\pi ))$

$=\sin \left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\right)+\tan (1-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right))$

Berechne $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)$ und $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)$.Die Werte von $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)$ und $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)$ kannst du dir leicht merken. Deswegen brauchst du dafür keinen Taschenrechner.Als Hilfe kannst du dir den Graphen zu den Funktionen anschauen.

Daraus kannst du ablesen:

• $\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$

• $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$

Diese Werte setzt du in den Term ein.

$...=\sin \left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)\right)+\tan (1-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right))$

$=\sin \left(0\right)+\tan (1-1)$

$=\sin \left(0\right)+\tan \left(0\right)$

Benutze nun die Definition der Tangensfunktion: $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$.

$...=\sin \left(0\right)+\tan \left(0\right)$

$=\sin (0)+\frac{\sin (0)}{\cos (0)}$

Setze die Funktionswerte ein. Zur Hilfe kannst du wieder den Graphen betrachten.

$...=\sin (0)+\frac{\sin (0)}{\cos (0)}=0+\frac{0}{1}=0$

Also: