Aufgaben zu Hypothesentests

Es wird vermutet, dass der Anteil der Befürworter des Rauchverbots an Bushaltestellen und Bahnhöfen in der Bevölkerung gegenwärtig bei höchstens $60 %$ liegt. Um diese Vermutung zu testen, wird eine Befragung von $100$ zufällig ausgewählten Personen durchgeführt.

Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5 %$ irrtümlich abgelehnt werden soll?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formulieren der Nullhypothese
Formulieren der Nullhypothese
Der Anteil der Befürworter des Rauchverbots in der Bevölkerung soll mit $p$ bezeichnet werden.
Formuliere die Nullhypothese $H_{0}$ !
$H_{0} : p \leq 0,6$
Festlegen der Testgröße und des Stichprobenumfangs
Es werden $100$ Personen zufällig ausgewählt und befragt.
Gib den Stichprobenumfang $n$ an!
$n = 100$
Wähle eine sinnvolle Testgröße $Z$ !
$Z$ : "Anzahl der Rauchverbot-Befürworter unter den befragten Personen"
Überlege dir die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Z$ !
$Z$ ist (in guter Näherung) binomialverteilt nach $B (100; 0,6)$
Bestimmen der Entscheidungsregel
Man wird sich für $H_{0}$ entscheiden, wenn nur sehr wenige der $100$ befragten Personen das Rauchverbot befürworten.
Gib auf der Grundlage dieser Überlegung die Form des kritischen Bereichs $K$ an!
$K = {k; \dots; 100}$
$K = {0; 1; \dots; k - 1}$
Verwende nun das Signifikanzniveau $α$ , um eine Bedingung anzugeben, mit der $k$ bestimmt werden kann!
$k$ ist die kleinste ganze Zahl, für die $P_{0,6}^{100} (Z \geq k) \leq 0,05$ gilt
Gehe zum Gegenereignis über, um das Tafelwerk nutzen zu können!
$1 - P_{0,6}^{100} (Z \leq k - 1) \leq 0,05$
$P_{0,6}^{100} (Z \leq k - 1) \geq 0,95$
$F_{0,6}^{100} (k - 1) \geq 0,95$
Ermittle mithilfe eines geeigneten Tafelwerks den Wert von $k$ !
$k = 69$
Gib den Annahme- und Ablehnungsbereich an!
$K = {0; 1; \dots; 68}$
$K = {69; \dots; 100}$
Formuliere einen Antwortsatz!
Somit lautet die Entscheidungsregel: Wenn mindestens $69$ der befragten Personen das Rauchverbot befürworten, wird die Vermutung abgelehnt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel die Vermutung angenommen, obwohl der Anteil der Rauchverbot-Befürworter tatsächlich $70 %$ beträgt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formulieren der Hypothesen
Berechnen des Fehlers 2. Art
$H_{0}$ angenommen: $Z \in K$ , also $Z \leq 68$
Befürworter-Anteil $70 %$ : $p = 0,7$
Gib zunächst die zu berechnende Wahrscheinlichkeit an!
$P_{0,7}^{100} (Z \leq 68) = F_{0,7}^{100} (68) = ?$
Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe eines geeigneten Tafelwerks!
$F_{0,7}^{100} (68) = 0,3668 \dots$
$F_{0,7}^{100} (68) \approx 36,7 %$
Formuliere einen Antwortsatz!
Die Nullhypothese wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $36,7 %$ irrtümlich angenommen.

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Aufgaben zu Hypothesentests

Formulieren der Nullhypothese

Festlegen der Testgröße und des Stichprobenumfangs

Bestimmen der Entscheidungsregel

Berechnen des Fehlers 2. Art