Mathe Geometrie Analytische Geometrie Flächen- und Volumenberechnung Flächenberechnung in der analytischen Geometrie Aufgaben zur Flächenberechnung

Aufgaben zur Flächenberechnung

Die Punkte sind gegeben durch $A (- 3 | 4)$ und $B (0 | 1)$ , $C$ bewegt sich dabei auf der Funktion $\ln (x - 3)$ in Abhängigkeit von $x$ .

Bestimme zuerst den Definitionsbereich von $x$ und dann den Flächeninhalt des Dreiecks $Δ A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimmen des Definitionsbereiches

Zunächst bestimmst du den Definitionsbereich von $x$ .

Betrachte hierfür $\ln (x - 3)$ . Der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen sowie für null nicht definiert. Für das Argument des Logarithmus muss also gelten:

$x - 3 > 0 ⟺ x > 3$

Damit ist der Definitionsbereich $D =] 3, \infty [$ .

Berechnen des Flächeninhaltes

Stelle zuerst zwei Seiten des Dreiecks als Vektoren auf.

\vec{v} = \vec{A B} = B - A = (\begin{array}{c} 3 \\ - 3 \end{array})

\vec{w} = \vec{A C} = C - A = (\begin{array}{c} x + 3 \\ \ln (x - 3) - 4 \end{array})

Benutze nun die Formel zur Flächenberechnung eines Dreiecks mithilfe der Determinante. Gegen den Uhrzeigersinn betrachtet kommt $\vec{v}$ vor $\vec{w}$ , also schreibst du zuerst $\vec{v}$ , dann $\vec{w}$ in die Formel.

\begin{array}{rcl} F (x) = \frac{1}{2} | \vec{v} \vec{w} | & = & \frac{1}{2} | \begin{array}{cc} 3 & x + 3 \\ - 3 & \ln (x - 3) - 4 \end{array} | \\ = & \frac{1}{2} (3 \cdot (\ln (x - 3) - 4) - (x + 3) \cdot (- 3)) \\ = & 1,5 \ln (x - 3) + 1,5 x - 1,5 \end{array}

Nach Ausrechnen der Determinante bekommst du für den Flächeninhalt also:

F (x) = 1,5 \ln (x - 3) + 1,5 x - 1,5

Unten kannst du, in dem du den Punkt $C$ entlang der Funktion $\ln (x - 3)$ bewegst, den Flächeninhalt des Dreiecks $Δ A B C$ verändern.

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