Aufgaben zur Drehung

$\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& \cos \alpha \cdot x& -& \sin \alpha \cdot y\\ y^{\prime }& =& \sin \alpha \cdot x& +& \cos \alpha \cdot y\end{array}$

Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{\prime }$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccccc}\frac{5\sqrt{3}}{2}& =& \cos \alpha \cdot 5& -& \sin \alpha \cdot 0\\ \frac{5}{2}& =& \sin \alpha \cdot 5& +& \cos \alpha \cdot 0\end{array}$

Löse die Gleichungen nach $\alpha$ auf.

$\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{3}}{2}& =& \cos \alpha \\ \frac{1}{2}& =& \sin \alpha \\ \Rightarrow \alpha & =& 30°\end{array}$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{\prime }$ in das Gleichungssystem ein.

$\left(\begin{array}{c}\frac{5\sqrt{3}}{2}\\ \frac{5}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\end{array}\right)$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.

$\left(\begin{array}{c}\frac{5\sqrt{3}}{2}\\ \frac{5}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\cdot \cos \alpha \\ 5\cdot \sin \alpha \end{array}\right)$

Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.

$\begin{array}{cc}\frac{5\sqrt{3}}{2}& =5\cdot \cos \alpha \\ \frac{5}{2}& =5\cdot \sin \alpha \end{array}$

Löse die Gleichungen.

$\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{3}}{2}& =& \cos \alpha \\ \frac{1}{2}& =& \sin \alpha \\ \Rightarrow \alpha & =& 30°\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}{x}^{\prime }& =& \cos \alpha \cdot x& -& \sin \alpha \cdot y\\ y^{\prime }& =& \sin \alpha \cdot x& +& \cos \alpha \cdot y\end{array}$

Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{\prime }$ in das Gleichungssystem ein.

$\begin{array}{ccccc}\frac{3}{2}\cdot (1+\sqrt{3})& =& \cos \alpha \cdot 3& -& \sin \alpha \cdot (-3)\\ \frac{3}{2}\cdot (-1+\sqrt{3})& =& \sin \alpha \cdot 3& +& \cos \alpha \cdot (-3)\end{array}$

Löse die Gleichungen nach $\alpha$ auf.

$\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2}\cdot (1+\sqrt{3})& =& \cos \alpha & +& \sin \alpha \\ \frac{1}{2}\cdot (-1+\sqrt{3})& =& \sin \alpha & -& \cos \alpha \end{array}$

Verwende das Addionsverfahren.

$\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}\cdot (1+\sqrt{3})+\frac{1}{2}\cdot (-1+\sqrt{3})& =& \cos \alpha +\sin \alpha +\sin \alpha -\cos \alpha \\ \frac{1}{2}\cdot (1+\sqrt{3})+\frac{1}{2}\cdot (-1+\sqrt{3})& =& 2\cdot \sin \alpha \\ \sqrt{3}& =& 2\cdot \sin \alpha \\ \frac{\sqrt{3}}{2}& =& \sin \alpha \\ \Rightarrow \alpha & =& 60°\end{array}$

Vereinfache die Gleichung.

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

Setze die beiden Punkte $P$ und $P^{\prime }$ in das Gleichungssystem ein.

$\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\cdot (1+\sqrt{3})\\ \frac{3}{2}\cdot (-1+\sqrt{3})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -3\end{array}\right)$

Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch.

$\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\cdot (1+\sqrt{3})\\ \frac{3}{2}\cdot (-1+\sqrt{3})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha \cdot 3& -\sin \alpha \cdot (-3)\\ \sin \alpha \cdot 3& \cos \alpha \cdot (-3)\end{array}\right)\cdot$

Schreibe die Gleichung in ein Gleichungssystem um.

$\begin{array}{ccccc}\frac{3}{2}\cdot (1+\sqrt{3})& =& \cos \alpha \cdot 3& -& \sin \alpha \cdot (-3)\\ \frac{3}{2}\cdot (-1+\sqrt{3})& =& \sin \alpha \cdot 3& +& \cos \alpha \cdot (-3)\end{array}$

Löse die Gleichungen.

$\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2}\cdot (1+\sqrt{3})& =& \cos \alpha & +& \sin \alpha \\ \frac{1}{2}\cdot (-1+\sqrt{3})& =& \sin \alpha & -& \cos \alpha \\ \Rightarrow \alpha & =& 60°& & \end{array}$