Aufgaben zur Flächenberechnung

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks $△ A B C$ mithilfe der Determinante

$A (3 | 1)$ , $B (0 | 2)$ und $C (4 | 5)$
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Um den Flächeninhalt $F$ bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ .
$\vec{A B} = B - A = (\begin{array}{c} 0 - 3 \\ 2 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array})$
$\vec{A C} = C - A = (\begin{array}{c} 4 - 3 \\ 5 - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array})$
Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt $F$ gilt:
Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!
$F = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A C} \vec{A B} |$
$= \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}) (\begin{array}{c} - 3 \\ 1 \end{array}) |$
$= \frac{1}{2} | \begin{array}{cc} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{array} | = \frac{1}{2} (1 \cdot 1 - (- 3) \cdot 4) = 6,5$
Für den Flächeninhalt des Dreiecks $△ A B C$ gilt also $F = 6,5$
$A (- 4 | - 5)$ , $B (- 1 | 1)$ und $C (3 | - 2)$
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Um den Flächeninhalt $F$ bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ .
$\vec{A B} = B - A = (\begin{array}{c} - 1 - (- 4) \\ 1 - (- 5) \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array})$
$\vec{A C} = C - A = (\begin{array}{c} 3 - (- 4) \\ - 2 - (- 5) \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array})$
Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt $F$ gilt:
Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!
$F = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A C} \vec{A B} |$
$= \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array}) (\begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}) |$
$= \frac{1}{2} | \begin{array}{cc} 7 & 3 \\ 3 & 6 \end{array} | = \frac{1}{2} (7 \cdot 6 - 3 \cdot 3) = 16,5$
Für den Flächeninhalt des Dreiecks $△ A B C$ gilt also $F = 16,5$
$A (4 | 4,5)$ , $B (2,5 | - \frac{2}{3})$ und $C (- 3,2 | - 2)$
FE

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Determinante
Um den Flächeninhalt $F$ bestimmen zu können, brauchen wir erst die Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ .
$\vec{A B} = B - A = (\begin{array}{c} 2,5 - 4 \\ - \frac{2}{3} - 4,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1,5 \\ - \frac{31}{6} \end{array})$
$\vec{A C} = C - A = (\begin{array}{c} - 3,2 - 4 \\ - 2 - 4,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 7,2 \\ - 6,5 \end{array})$
Nun setzt du die Vektoren in die Determinante ein, so dass für den Flächeninhalt $F$ gilt:
Beachte dabei, dass die Reihenfolge der Vektoren, die man in die Determinante einsetzt, gegen dem Uhrzeigersinn ist!
$F = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A C} \vec{A B} |$
$= \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} - 7,2 \\ - 6,5 \end{array}) (\begin{array}{c} - 1,5 \\ - \frac{31}{6} \end{array}) |$
$= \frac{1}{2} | \begin{array}{cc} - 7,2 & - 1,5 \\ - 6,5 & - \frac{31}{6} \end{array} |$
$= \frac{1}{2} [(- 7,2) \cdot (- \frac{31}{6}) - (- 1,5) \cdot (- 6,5)]$
$= 13,725$
Für den Flächeninhalt des Dreiecks $△ A B C$ gilt also $F = 13,725$ .

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