Mathe Geometrie Spiegelung, zentrische Streckung und andere Abbildungen in der Ebene Berechnung der Abbildungen mit Matrizen Drehung Aufgaben zur Drehung mit Matrizen

Aufgaben zur Drehung

Gegeben ist das Dreieck $A B C$ mit den Eckpunkten $A (- 2 | 0), B (4 | 0)$ und $C (- 1 | 7)$ .Die Eckpunkte $Q_{n}$ auf der Seite $[B C]$ des Dreiecks bilden mit dem Punkt $P$ und Punkten $R_{n}$ auf $g$ gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke $P Q_{n} R_{n}$ mit $∢ Q_{n} P R_{n} = 90 °$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drehung

Wir wollen also den Punkt $Q_{n}$ um $90 °$ um den Ursprung $P$ drehen.

Das heißt, man muss zuerst die Geradengleichung durch die Punkte $B$ und $C$ bestimmen, um die allgemeinen Koordinaten des Punktes $Q_{n}$ zu bekommen.

$\vec{B C} = (\begin{array}{c} - 5 \\ 7 \end{array})$

$\Rightarrow m_{B C} = - \frac{7}{5}$

$\Rightarrow B C : y = - \frac{7}{5} x + 7$

$\Rightarrow Q_{n} (x | - \frac{7}{5} x + 7)$

Die Drehung um $90 °$ wird besonders häufig gebraucht; somit verwenden wir hier direkt die folgende Matrixformel:

(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ y \end{array})

(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} x \\ - \frac{7}{5} x + 7 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{7}{5} x - 7 \\ x \end{array})

$\Rightarrow$ Der gedrehte Punkt $R_{n}$ hat also folgende Koordinaten:

R_{n} (\frac{7}{5} x - 7 | x)

\Rightarrow \begin{array}{rrll} x^{'} & = & \frac{7}{5} x - 7 & (1) \\ y^{'} & = & x & (2) \end{array}

Als letztes muss noch der Trägergraph $g^{'}$ bestimmt werden: Dazu löst man die (1)-Gleichung nach $x$ auf.

x = \frac{5}{7} x^{'} + 5 (1^{'})

Setze (1') in (2) ein:

y^{'} = \frac{5}{7} x^{'} + 5

Die Gerade $g$ hat demnach folgende Gleichung:

g^{'} : y^{'} = \frac{5}{7} x^{'} + 5

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