Aufgaben zur Parallelverschiebung

$g:y=2\cdot x,\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

Damit erhältst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von $x$.

$x^{\prime }=x+1$

$y^{\prime }=2x$

Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein:

$x=x^{\prime }-1$

$y^{\prime }=2\cdot (x^{\prime }-1)$

$\Rightarrow y^{\prime }=2\cdot x^{\prime }-2$

Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von $x\text{′}$.

Alternativlösung

$g:y=2\cdot x$

Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt.

$A(0|0)$ und $B(1|2)$

Verschiebe die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$.

1. Variante: Berechnung in Koordinatenform

$\stackrel{\rightharpoonup }{A}=\stackrel{\rightharpoonup }{A}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

$\stackrel{\rightharpoonup }{B}=\stackrel{\rightharpoonup }{B}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

Addiere den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ zu den Ortsvektoren $\stackrel{\rightharpoonup }{A}$ und $\stackrel{\rightharpoonup }{B}$

$x_{A^{\prime }}=0+1=1$

$y_{A^{\prime }}=0+0=0$

$\to A^{\prime }(1|0)$

$x_{B^{\prime }}=1+1=2$

$y_{B^{\prime }}=2+0=2$

$\to B^{\prime }(2|2)$

Setze die Koordinaten der Punkte ein.

2. Variante: Berechnung in Matrixform

Geradengleichung aufstellen

$A^{\prime }(1|0)$ und $B^{\prime }(2|2)$

Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.

$m=\frac{0-2}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2$

Setze $m$ und den Punkt $B^{\prime }$ in die Geradengleichung ein und stelle sie um, um $t$ zu bestimmen.

Stelle die Geradengleichung auf.

$y=2\cdot x-2$

$g:y=3\cdot x+\frac{1}{2}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$

Damit erhältst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von x.

$x^{\prime }=x+4$

$y^{\prime }=3\cdot x+\frac{5}{2}$

Löse die erste Gleichung nach x auf und setze sie in die zweite Gleichung ein.

$x=x^{\prime }-4$

$y^{\prime }=3\cdot (x^{\prime }-4)+\frac{5}{2}$

$\Rightarrow y^{\prime }=3\cdot x^{\prime }-\frac{19}{2}$

Somit hast du die neue Geradengleichung in Abhängigkeit von $x^{\prime }$

Alternativlösung:

$g:y=3\cdot x+\frac{1}{2}$

Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, z.B. den x- und y-Achsenabschnitt. In diesem Fall betrachtest du den y-Abschnitt und gehst dann $3$ nach unten und $1$ nach links, sodass du bei $B$ landest.

$A\left(0|\frac{1}{2}\right)$ und $B(-1|-\frac{5}{2})$

Verschiebe die Punkte $A$ und $B$ um den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$

1. Variante: Berechnung in Koordinatenform

$\stackrel{\rightharpoonup }{A}=\stackrel{\rightharpoonup }{A}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$

$\stackrel{\rightharpoonup }{B}=\stackrel{\rightharpoonup }{B}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -\frac{5}{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$

Addiere den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ zu den Ortsvektoren $\stackrel{\rightharpoonup }{A}$ und $\stackrel{\rightharpoonup }{B}$

$x_{A^{\prime }}=0+4=4$

$y_{A^{\prime }}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$

$\to A^{\prime }\left(4|\frac{5}{2}\right)$

$x_{B^{\prime }}=-1+4=3$

$y_{B^{\prime }}=-\frac{5}{2}+2=-\frac{1}{2}$

$\to B^{\prime }(3|-\frac{1}{2})$

Setze die Koordinaten der Punkte ein.

2. Variante: Berechnung in Matrixform

Geradengleichung aufstellen

$A^{\prime }\left(4|\frac{5}{2}\right)$ und $B^{\prime }(3|-\frac{1}{2})$

Berechne die Steigung durch den Differenzenquotienten.

$m=\frac{\frac{5}{2}-(-\frac{1}{2})}{4-3}=\frac{3}{1}=3$

Setze $m$ und den Punkt $B^{\prime }$ in die Geradengleichung ein und stelle sie um, um $t$ zu bestimmen.

Stelle die Geradengleichung auf.

$y=3\cdot x-\frac{19}{2}$