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Aufgaben zum Thema Analysis

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung lautet:

Die Funktion $f$ sei im Intervall $[a, b]$ mit $a < b$ stetig und im Inneren $(a, b)$ differenzierbar.

Dann existiert ein $c \in [a, b]$ mit

$f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a) .$

Was bedeutet dieser Satz anschaulich?
Beweise den Satz von Rolle:
Die Funktion $f$ sei im Intervall $[a, b]$ stetig differenzierbar und es gelte $f (a) = f (b)$ .Dann besitzt der Graph von $f$ zwischen $a$ und $b$ mindestens einen Punkt mit waagrechter Tangente.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Analysis
An einem Punkt $x$ , an dem $f$ eine waagrechte Tangente hat, gilt $f^{'} (x) = 0$ (da die waagrechte Tangente nicht steigt oder fällt).Wenn $f (a) = f (b)$ , dann ist natürlich $f (b) - f (a) = 0$ .Nun betrachten wir den Mittelwertsatz (wir haben ja vorausgesetzt, dass $f$ im Intervall $[a, b]$ stetig differenzierbar ist; zusätzlich muss $a \neq b$ gelten, denn sonst wäre, sobald der Satz bewiesen ist, in jedem Punkt eine waagrechte Tangente):
$f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$
Mit der oben erkannten Eigenschaft ergibt sich:
$0 = f^{'} (c) (b - a)$
Da wir $a \neq b$ noch zusätzlich vorausgesetzt haben, können wir durch $(b - a)$ dividieren:
$0 = f^{'} (c)$
Und damit haben wir am Punkt $ξ \in [a, b]$ eine waagrechte Tangente. Da nach mindestens einer solcher verlangt war, haben wir den Satz von Rolle bewiesen.
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