Aufgaben zum Umgang mit Bruchtermen

Für jeden Term im Nenner wird das kgV bestimmt. Für die Formvariablen (hier f, g, h) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt. Damit ist dann der Hauptnenner fertig. Der für jeden Zähler korrekte Erweiterungsfaktor kann dann ermittelt werden.

Das kgV$(48;112)$ wird ermittelt:

$\begin{array}{l}48=16\cdot 3=2^4\cdot 3\\ 112=16\cdot 7=2^4\cdot 7\end{array}$

Erkenntnis aus der Primfaktorzerlegung:

Bestimme für das kgV die höchste vorkommende Potenz aller Primfaktoren.

Primzahl $2$ hat die Vielfachheit $4$

Primzahl $3$ hat die Vielfachheit $1$

Primzahl $7$ hat die Vielfachheit $1$

Somit gilt: kgV$(48;112)$$=2^4\cdot 3^1\cdot 7^1=336$

Für die Formvariablen (hier $f,g,h$) werden die jeweils höchsten Potenzen ermittelt:

$f$ hat die höchste Potenz $2$

$g$ hat die höchste Potenz $4$

$h$ hat die höchste Potenz $1$

$\Rightarrow f^2\cdot g^4\cdot h$

Der Hauptnenner ist demnach $336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h$

Ermittlung des Erweiterungsfaktors und Durchführung der Erweiterung

Der Bruch ${\displaystyle \frac{3f{g}^2}{48f^2{g}^4}}$ muss mit $7\cdot h$ erweitert werden, denn ${\displaystyle \frac{336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h}{48\cdot f^2\cdot g^4}}=7\cdot h$.

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{3f{g}^2}{48f^2{g}^4}}\cdot {\displaystyle \frac{7h}{7h}}={\displaystyle \frac{21{\mathrm{fg}}^{2}h}{336f^2{g}^{4}h}}$

Der Bruch ${\displaystyle \frac{2h^5}{112fgh}}$ muss mit $3\cdot f\cdot g^3$ erweitert werden, denn ${\displaystyle \frac{336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h}{112\cdot f\cdot g\cdot h}}=3\cdot f\cdot g^3$.

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{2h^5}{336f^2{g}^{4}h}}\cdot {\displaystyle \frac{3\cdot f\cdot g^3}{3\cdot f\cdot g^3}}={\displaystyle \frac{6{\mathrm{fg}}^3{h}^5}{336f^2{g}^{4}h}}$

Der Bruch ${\displaystyle \frac{8}{1}}$ muss mit dem Hauptnenner $336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h$ erweitert werden:

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{8}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h}{336\cdot f^2\cdot g^4\cdot h}}={\displaystyle \frac{2688f^2{g}^{4}h}{336f^2{g}^{4}h}}$

Ergebnis:

${\displaystyle \frac{21{\mathrm{fg}}^{2}h}{336f^2{g}^{4}h}};{\displaystyle \frac{6{\mathrm{fg}}^3{h}^5}{336f^2{g}^{4}h}};{\displaystyle \frac{2688f^2{g}^{4}h}{336f^2{g}^{4}h}}$