Aufgaben zum Thema Einstimmung

Der Legende nach gewährte einst Sher Khan, der König von Indien, dem Erfinder des Schachspiels für die Erfindung dieses außergewöhnlichen Spiels die Gunst, sich seine Belohnung selbst aussuchen zu dürfen. Der bescheidene (?) Erfinder verlangte lediglich ein paar Reiskörner. Und zwar sollten auf jedem Feld des Schachbretts jeweils doppelt so viele Körner wie auf dem vorhergehenden Feld liegen (für Mathematiker: $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots$ Reiskörner). Auf wie viele Reiskörner hätte sich die Belohnung belaufen?

Überlege dir dazu allgemein, welche Zahlen herauskommen, wenn man die Zweierpotenzen aufsummiert!

Studierende mit Nebenfach Physik schätzen bitte die Zahl der Reiskörner in Tonnen, Studierende mit Nebenfach Agrarwissenschaften entsprechend in Doppelzentnern.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einstimmung

Mathematische Formulierung des Problems

Auf dem ersten Feld des Schachbretts soll laut Angabe $1$ Reiskorn liegen, auf dem zweiten $2$ , auf dem dritten $2^{2}$ , auf dem vierten $2^{3}$ usw.

Da ein Schachbrett insgesamt aus $64$ Feldern besteht, ist der letzte Summand durch $2^{63}$ gegeben.

Formuliere das Problem mathematisch, indem du einen geeigneten Term aufstellst!

Gesucht: Wert des Terms $T$

T = 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{63} = \sum_{k = 0}^{63} 2^{k}

Damit du nicht jeden Summanden einzeln per Hand ausrechnen musst, versuche ein Muster zu erkennen! Betrachte dazu zunächst nur die ersten Summanden!

Erkennen des Musters

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} 2^{0} = 1 \\ 2^{1} = 2 \end{array}} 3 \\ 2^{2} = 4 \end{array}} 7 \\ 2^{3} = 8 \end{array}} \\ . . . \end{array}$

Du erkennst, dass sich der $Wert der Summe$ jeweils ergibt, wenn du bei der $höchsten vorkommenden Zweierpotenz$ den Exponenten um $1$ erhöhst und anschließend vom Ergebnis $1$ subtrahierst.

Formuliere diese Erkenntnis mathematisch!

$\begin{array}{rcl} 2^{0} + 2^{1} & = 2^{2} - 1 \\ 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} & = 2^{3} - 1 \\ 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} & = 2^{4} - 1 \\ \dots \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2^{0} + \dots + 2^{63} & = 2^{64} - 1 \end{array}$

Berechne schließlich den Wert des Terms! Da die meisten Taschenrechner nicht so viele Stellen anzeigen können, benutze ein geeignetes Computeralgebrasystem (CAS), wie z. B. WolframAlpha.

T = \sum_{k = 0}^{63} 2^{k} = 2^{64} - 1

= 18 446 744 073 709 551 615

Die Belohnung für den Erfinder des Schachspiels beläuft sich somit auf gut 18 Trillionen Reiskörner.

Allgemeine Formel

Wenn du die obigen Überlegungen verallgemeinerst, so kommst du auf die allgemeine Formel zur Berechnung der Summe von Zweierpotenzen:

\sum_{k = 0}^{n} 2^{k} = 2^{n + 1} - 1

für alle $n \in ℕ_{0}$ .

Um diese Beziehung formal zu beweisen, wendest du die Beweistechnik der vollständigen Induktion an. Diese lernst du zwar eigentlich erst in einem späteren Kapitel kennen, aber hier ist sie schon einmal im Spoiler dargestellt.

Zusatzaufgabe (Masse der Reiskörner)

Damit du die Masse der Reiskörner abschätzen kannst, legst du einen Schätzwert zugrunde.

Hier soll angenommen werden, dass $100$ Reiskörner $3 g$ wiegen (Studierende mit Nebenfach Physik können diesen Wert gerne experimentell überprüfen und ggf. anpassen).

Somit wiegen $18 446 744 073 709 551 615$ Reiskörner

3 g \cdot 18 446 744 073 709 551 615 / 100 \approx 5,53 \cdot 10^{17} g = 5,53 \cdot 10^{11} t

Die Masse der Reiskörner beläuft sich somit auf etwa eine halbe Billion Tonnen.

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