Aufgaben zum Thema Folgen

Mathematiker-Weg

Betrachten wir mal, was passiert, sobald Herrchen und Hund loslaufen und versuchen, eine Rekursion zu ermitteln. Sei $s_0=s$ der Start einer entsprechenden Reihe (die später zum Einsatz kommt).

• Herrchen und Hund sind am selben Punkt

• Während der Hund die Strecke $s_0$ läuft und bei der Kneipe ankommt, läuft sein Herrchen $\frac{s_0}{2}$

• Anschließend kommt der Hund zurück: Da er doppelt so schnell wie sein Herrchen läuft, legt er entsprechend währenddessen auch die doppelte Strecke zurück:

• Nun sind Herrchen und Hund wieder an einem Punkt, das Herrchen hat dabei folgende Strecke zurückgelegt:

• Da beide nun wieder an einem Punkt sind, können wir die Schleife nun von neuem mit $s_1$ beginnen lassen:

Dieser Prozess lässt sich analog für $s_n$ und $s_{n+1}$ durchführen. Wir halten also fest:Denn der Hund läuft immer $\frac{4}{3}\cdot s_n$. Daher können wir folgende Folge definieren:Die zurück gelegte Strecke des Hundes $s_{Hund}$ entspricht dem Grenzwert dieser Folge (die Folge konvergiert nebenbei, da sie, bis auf einem konstanten Faktor, der unendlichen geometrischen Reihe entspricht; diese konvergiert bereits):Damit ist der zurückgelegte Weg des Hundes doppelt so lang wie der des Herrchens.

Physiker-Weg

Nun ja, wir können sagen: Solange der Mann läuft, läuft auch der Hund. Die Zeit, die der Mann läuft, bezeichnen wir mit $t$. Also gilt nach den Bewegungsgleichungen: Setzen wir erstere in zweitere Gleichung:Damit läuft der Hund eine doppelt so lange Strecke wie sein Herrchen.