Aufgaben zum Thema Folgen

Zur Erinnerung:

${\sum }_{k=0}^n{x}^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$.

Nun zeigen wir zuerst, dass $(f_n)$ (streng) monoton steigt: Da x positiv ist, ist $x^{n+1}$ auch positiv, weswegen direkt $f_{n+1}=f_n+x^{n+1}>f_n$ folgt, und somit strenge Monotonie gilt. Um die Beschränktheit zu zeigen, können wir einfach eine obere und eine untere Schranke angeben und zeigen, dass kein $f_n$ für alle $n\in {\mathbb{N}}_{\mathrm{𝟘}}$ diese unter- bzw. überschreitet. Da $f_n$ streng monoton steigt, können wir $f_0=\frac{x-1}{x-1}=1$ als untere Schranke nehmen. Die Obergrenze ist etwas schwieriger, auch da sie von $x$ abhängt. Wir kürzen zuerst einmal ein Minus aus unserer Formel:

$f_n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$.

Da $0<x<1$ nach Voraussetzungen gilt, ist $1-x$ positiv und $-x^{n+1}$ immer negativ. Somit folgt: $f_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}<\frac{1}{1-x}$, also ist $\frac{1}{1-x}$ eine obere Schranke. Somit ist $(f_n)$ (streng) monoton und beschränkt und daher konvergent. Der Grenzwert ist $\frac{1}{1-x}$ und entspricht somit unserer oberen Schranke.