Mathe Hochschule TU München Vorkurs Mathematik für Informatiker Aufgaben zum Thema Folgen

Aufgaben zum Thema Folgen

Berechne die ersten Partialsummen der Reihe mit Gliedern $s_{n} = \frac{9}{10^{n}}$ und bestimme deren kleinste obere Schranke.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Folgen

Gegeben ist uns:

s_{n} = \frac{9}{10^{n}}

Bestimmen wir nun unsere Folge (mit $f_{0} = 0$ )

f_{n} = s_{n} + f_{n - 1} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{9}{10^{k}} = 9 \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{10^{k}}

Berechnen wir nun für $n \in {1,2,3}$ die Partialsummen von $(f_{n})$ :

f_{1} = \frac{9}{10} = 0,9

f_{2} = f_{1} + \frac{9}{100} = 0,99

f_{3} = f_{2} + \frac{9}{1000} = 0,999

Man kann erkennen, dass die Folge $1$ nicht zu überschreiten scheint. In der Tat ist dies der Fall; um dies zu zeigen formen wir zuerst die Folge mithilfe der Formel für die unendliche geometrische Reihe um (Anmerkung: Die Formel für die unendliche geometrische Reihe bezieht auch $\frac{1}{10^{0}} = 1$ mit ein, daher müssen wir eine $1$ von der Summe abziehen; wir beginnen mit unserer Reihe ja bei $1$ ):

9 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{10^{k}} = 9 (\frac{1}{1 - \frac{1}{10}} - 1) = 9 (\frac{10}{9} - 1) = 9 \frac{1}{9} = 1

Da $(f_{n})$ monoton steigt ( $f_{n} = s_{n} + f_{n - 1} > f_{n - 1}$ , da $s_{n} > 0$ für $n \in ℕ$ ), gilt:

\Rightarrow \sup_{m \in ℕ} f_{m} = 9 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{10^{k}} = 1 ■

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