Aufgaben zum Gaußverfahren

Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.

$\begin{array}{ccccc} 3 x & + & 4 y & = & - 1 \\ 2 x & + & 5 y & = & - 3 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{ccccc} 3 x & + & 4 y & = & - 1 \\ 2 x & + & 5 y & = & - 3 \end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & - 1 \\ 2 & 5 & - 3 \end{array})$
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3, die zweite durch 2.
$\overset{\overset{}{I : 3, I I : 2}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \\ 1 & \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} \end{array})$
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
$\overset{\overset{}{I I - I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{7}{6} & - \frac{7}{6} \end{array})$
Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac{7}{6}$ .
$\overset{\overset{}{I I : \frac{7}{6}}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})$
Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $\frac{4}{3}$ -fache der zweiten Zeile.
$\overset{\overset{}{I - \frac{4}{3} \cdot I I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})$
Nun kann man die Lösung in der rechten Spalte ablesen:
$\Rightarrow x = 1; y = - 1$
$\begin{array}{ccrcc} 3 x & - & 4 y & = & - 26 \\ 2 x & + & 3 y & = & 28 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{ccrcc} 3 x & - & 4 y & = & - 26 \\ 2 x & + & 3 y & = & 28 \end{array}$
Man bildet zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix.
$(\begin{array}{ccc} 3 & - 4 & - 26 \\ 2 & 3 & 28 \end{array})$
Dann dividiert man die erste Zeile durch 3 und die zweite durch 2.
$\overset{\overset{}{I : 3, I I : 2}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{4}{3} & - \frac{26}{3} \\ 1 & \frac{3}{2} & 14 \end{array})$
Man subtrahiert nun die erste von der zweiten Zeile.
$\overset{\overset{}{I I - I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{4}{3} & - \frac{26}{3} \\ 0 & \frac{17}{6} & \frac{68}{3} \end{array})$
Anschließend teilt man die zweite Zeile durch $\frac{17}{6}$ .
$\overset{\overset{}{I I : \frac{17}{6}}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & - \frac{4}{3} & - \frac{26}{3} \\ 0 & 1 & 8 \end{array})$
Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $- \frac{4}{3}$ -fache der zweiten Zeile.
$\overset{\overset{}{I - (- \frac{4}{3}) \cdot I I}}{\to} (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 8 \end{array})$
Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen:
$\Rightarrow x = 2; y = 8$
$\begin{array}{rcrcrcr} x & + & 2 y & - & z & = & 2 \\ x & + & y & + & 2 z & = & 9 \\ 2 x & + & 3 y & - & 3 z & = & - 1 \end{array}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gaußverfahren
$\begin{array}{rcrcrcr} x & + & 2 y & - & z & = & 2 \\ x & + & y & + & 2 z & = & 9 \\ 2 x & + & 3 y & - & 3 z & = & - 1 \end{array}$
Setze in Gaußmatrix ein und führe die angegebenen Zeilenumformungen durch.
$(\begin{array}{ccr} 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & - 3 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 9 \\ - 1 \end{array}) \overset{I I - I}{\underset{I I I - 2 \cdot I}{⟶}} (\begin{array}{crr} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 3 \\ 0 & - 1 & - 1 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 7 \\ - 5 \end{array}) \overset{I I I - I I}{⟶} (\begin{array}{crr} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 3 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array} | \begin{array}{r} 2 \\ 7 \\ - 12 \end{array})$
$\overset{I I : (- 1)}{\underset{I I I : (- 4)}{⟶}} (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{c} 2 \\ - 7 \\ 3 \end{array})$
Aus der dritten Zeile ist ersichtlich:
$z = 3$
Setze den gefundenen z-Wert in die zweite Zeile ein.
$y - 9 = - 7$
$\Rightarrow y = 2$
Setze den y- und z-Wert in die erste Zeile ein.
$x + 4 - 3 = 2$
$x = 1$
$\Rightarrow x = 1; y = 2; z = 3$

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