Mathe Stochastik Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Unabhängigkeit von Ereignissen Aufgaben zum Thema Unabhängigkeit von Ereignissen

Aufgaben zum Thema Unabhängigkeit von Ereignissen

In einer Urne sind 9 schwarze, 5 blaue und 3 rote Kugeln. Viermal wird mit Zurücklegen gezogen. Beweise, dass die Ereignisse A: "Blau beim ersten Zug" und B:"Kein Schwarz bei 4. Zug" unabhängig sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen beweisen

Für diese Aufgabe gibt es verschiedene Herangehensweisen.

Möglichkeit 1: Möglichkeiten aufzählen

Zu zeigen ist:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Berechne P(A). Zähle dafür die günstigen Möglichkeiten auf und teile durch alle Möglichkeiten.

$P (A) = \frac{5}{17}$

Berechne P(B). Teile wieder die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten.

$P (B) = \frac{3 + 5}{17} = \frac{8}{17}$

Berechne nun $P (A \cap B)$ . Beachte, dass uns der 2. und 3. Zug egal sind.

$P (A \cap B) = \underset{1. Z u g b l a u}{\underset{⏟}{\frac{5}{17}}} \cdot \frac{17}{17} \cdot \frac{17}{17} \cdot \underset{4. Z u g n i c h t s c h w a r z}{\underset{⏟}{\frac{8}{17}}}$

$P (A \cap B) = \frac{5}{17} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{8}{17} = P (A) \cdot P (B)$

Es gilt also:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Möglichkeit 2: Über bedingte Wahrscheinlichkeit

Diese Herangehensweie ist immer dann sinnvoll, falls $P (A \cap B)$ zu viele Möglichkeiten enthält, um sie von Hand zu berechnen. Hier war es noch einfach möglich, in anderen Aufgaben ist diese Lösung einfacher.

Zu zeigen ist:

P_{A} (B) = P (B)

Eingesetzt in die Definition von bedingter Wahrscheinlichkeit folgt damit sofort die Unabhängigkeit. Genausogut kann man natürlich auch $P_{B} (A)$ berechnen.

Bestimme zunächst P(B)="Kein Schwarz bei 4. Zug".

(Teile die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten)

$P (B) = \frac{3 + 5}{17} = \frac{8}{17}$

Betrachte die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_{A} (B)$ : "Nicht schwarz im vierten Zug, unter der Bedingung, dass der erste Zug blau war"

$P_{A} (B) = \underset{1. Z u g i s t b l a u w e g e n d e r B e d i n g u n g}{\underset{⏟}{\frac{1}{1}}} \cdot \underset{2. Z u g e g a l}{\underset{⏟}{\frac{17}{17}}} \cdot \underset{3. Z u g e g a l}{\underset{⏟}{\frac{17}{17}}} \cdot \frac{8}{17} = P (B)$

Daraus folgt die Unabhängigkeit.

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