Mathe Funktionen Wichtige Funktionstypen und ihre Eigenschaften Lineare Funktionen - Geraden Aufgaben zur Berechnung von Schnittpunkten von Geraden

Aufgaben zu linearen Funktionen

Zeige rechnerisch, dass sich die drei Geraden $g_{1}$ : $y = 0,5 x$ ; $g_{2}$ : $y = x - 1,5$ ; $g_{3}$ : $y = - 2 x + 7,5$ in genau einem Punkt schneiden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt zweier Geraden

Schnittpunkt zweier Geraden

$g_{2}$ : $y = x - 1,5$ ; $g_{3} :$ $y = - 2 x + 7,5$

Es ist hier zu empfehlen, zunächst den Schnittpunkt von zwei Geraden zu berechnen und dann zu prüfen, ob der Schnittpunkt auch ein Punkt auf der anderen Gerade ist.

Zwei der drei Geraden werden gleichgesetzt, um die x-Koordinate des Schnittpunktes zu berechnen.

$x - 1,5$	$=$	$- 2 x + 7,5$
	↓	Addiere zunächst 2x und anschließend 1,5.
$3 x$	$=$	$9$
	↓	Dividiere durch 3.
$x$	$=$	$3$

Den x-Wert in eine der beiden gleichgesetzten Geraden einsetzen (z. B. $g_{2}$ ), um die y-Koordinate des Schnittpunktes von $g_{2}$ und $g_{3}$ zu berechnen.

$y = 3 - 1,5 = 1,5$

$\Rightarrow$ $S (3 | 1,5)$

Gerade überprüfen

$g_{1}$ : $y = 0,5 x$

Der Schnittpunkt wird nun in $g_{1}$ eingesetzt. Das heißt, dass $x$ und $y$ der Gerade $g_{1}$ durch 3 und 1,5 ersetzt werden.

$1,5 = 0,5 \cdot 3$

Prüfe ob die so entstandene Aussage wahr ist, um festzustellen, ob $g_{1}$ durch $S$ läuft.

$1,5 = 1,5$

$\Rightarrow$ Dies ist eine wahre Aussage, also ist $S$ der gemeinsame und einzige Schnittpunkt aller drei Geraden.

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