Aufgaben zu Daten und Zufallsexperimenten

Ein Prüfer gibt eine Liste von 8 Fragen aus. Bei der Prüfung wird er dem jeweiligen Prüfling 2 davon vorlegen, von denen dieser eine bearbeiten muss.

Felix Faul bereitet sich nur auf eine der 8 Fragen vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er seine Frage gestellt bekommt?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Dies ist ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird zufällig eine von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen gezogen. Die von Felix vorbereitete Frage kommt entweder als erste, dann ist die zweite Frage egal, oder sie kommt als zweite, wenn als erstes eine andere gezogen wurde.
$P_{1}$ : Wahrscheinlichkeit, dass die vorbereitete Frage gleich als erstes gezogen wird.
$P_{1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{7} = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$
$P_{2}$ : Wahrscheinlichkeit, dass erst erst eine der anderen und dann die vorbereitete Frage gezogen wird.
$P_{2} = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{8}$
$\Rightarrow P = P_{1} + P_{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 25 %$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $25 %$ wird Felix Faul die Frage gestellt, auf die er sich vorbereitet hat.
Alternative Lösung
Für diese Aufgabe benötigst du zusätzlich folgendes Grundwissen:
Gegenereignis
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, dass Felix die vorbereitete Frage nicht gestellt wird.
$P_{1}$ : Wahrscheinlichkeit, dass die vorbereitete Frage nicht als erstes gezogen wird. Da es acht Fragen sind, ist
$P_{1} = \frac{7}{8}$ .
$P_{2} :$ Wahrscheinlichkeit, dass die vorbereitete Frage nicht als zweites gezogen wird. Nun sind es nur noch sieben Fragen, daher ist
$P_{2} = \frac{6}{7} .$
Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass die vorbereitete Frage nicht gezogen wird, ist also
$P = P_{1} \cdot P_{2} = \frac{7}{8} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 75 % .$
Da die Wahrscheinlichkeit, dass die von Felix vorbereitete Frage nicht gezogen wird, $75 %$ beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen $1 - P = 25 %$ .
Alexander Arglos bereitet sich auf 6 der 8 Fragen vor. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens eine vorbereitete Frage vorgelegt bekommt?
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
Dies ist ein zweistufiges Laplace-Experiment. In der ersten Stufe wird eine von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen gezogen.
Hier ist es am einfachsten, über das Gegenereignis zu gehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der vorbereiten Fragen gezogen wird ist gleich 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dass keine dieser Fragen gezogen wird.
In der esten Stufe sind zwei von acht, in der zweiten Stufe eine von sieben Fragen nicht vorbereitet worden.
$P(keine der Fragen) = \frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{56}$
$\Rightarrow P(mindestens eine Frage)$ $= 1 - P(keine der Fragen)$
$= 1 - \frac{2}{56} = \frac{54}{56} \approx 0,964 = 96,4 %$
Zu etwa $96,4 %$ wird Alexander Arglos mindestens eine Frage gestellt, auf die er sich vorbereitet hat.

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