Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Es gibt in dieser Aufgabe insgesamt vier Monitore: Zwei kaputte und zwei gute. Es wird ohne Zurücklegen ein Monitor nach dem anderen gezogen und nachgesehen, ob er kaputt ist oder nicht.

Folgende Bezeichnungen für die Ereignisse kannst du hier einführen:

$𝐊=\text{der angesehene Monitor ist 𝐤𝐚𝐩𝐮𝐭𝐭}$

$𝐆=\text{der angesehene Monitor ist 𝐠𝐮𝐭}$

Um die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung zu berechnen, stellst du ein Baumdiagramm auf:

Da man ohne zurücklegen zieht, ändern sich mit jeder Überprüfung die Wahrscheinlichkeiten.

Überlege dir nun, welche Pfade zu den Ereignissen passen, die in der Aufgabenstellung genannt werden.

Fertig nach zwei Überprüfungen

Bei welchen Pfaden weiß man nach zwei überprüften Monitoren schon, welche die kaputten Monitore sind? Das sind genau die Pfade, bei denen es nach dem zweiten Schritt keine Verzweigung mehr gibt. Es gibt also zwei mögliche Pfade:

• Die ersten beiden Monitore, die angesehen werden, sind kaputt. Das entspricht dem Pfad $\text{KK}\text{GG}$. Dieser Pfad hat die Wahrscheinlichkeit $P(\text{KK}\text{GG})={\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 1\cdot 1={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}.$

• Die ersten beiden Monitore sind gut. Das entspricht dem Pfad $\text{GG}\text{KK}$. In diesem Fall sind genau die beiden übrigen Monitore die kaputten. Der Pfad hat die Wahrscheinlichkeit $P(\text{GG}\text{KK})={\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 1\cdot 1={\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{1}{6}}.$

Weil es bei den anderen Pfaden im zweiten Schritt immernoch eine Verzweigung gibt, kommen diese Pfade nicht mehr infrage.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, ist also:

Fertig nach drei Überprüfungen

Eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der man nach drei Überprüfungen fertig ist, ist, wieder die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Pfade auszurechnen und zu Addieren. Eine weitere Möglichkeit, die etwas Arbeit spart, ist, mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu argumentieren:

Sieh dir die Pfade an, bei denen man nicht nach zwei Überprüfungen fertig ist. Das sind alle Pfade außer $\text{KK}\text{GG}$ und $\text{GG}\text{KK}$.

Bei all diesen Pfaden weiß man nach der dritten Überprüfung schon, welche die kaputten Monitore sind. Denn dann kann man schließen, ob der vierte kaputt ist oder nicht. Das heißt:

Das Ereignis $\text{"nach drei Überprüfungen fertig" }$ ist genau das Gegenereignis zu $\text{"nach zwei Überprüfungen fertig"}$. Und die Wahrscheinlichkeit, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, hast du oben schon berechnet. Daher gilt: