Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit

Prüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind.

$\vec{v_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}), \vec{v_{2}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array})$
- linear abhängig
- linear unabhängig
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren $\vec{v_{1}}$ und $\vec{v_{2}}$ sind linear unabhängig, wenn du zwei Zahlen $a, b \in ℝ$ finden kannst, sodass $a \cdot \vec{v_{1}} + b \cdot \vec{v_{2}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})$ und $a$ und $b$ nicht beide gleichzeitig $0$ sind.
Setz die gegebenen Vektoren ein.
$a \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})$
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$ .
$\begin{array}{cccccc} I & 1 \cdot a & + & 0 \cdot b & = & 0 \\ II & 0 \cdot a & + & 1 \cdot b & = & 0 \end{array}$
Löse das lineare Gleichungssystem.
$I 1 \cdot a + 0 \cdot b$ $=$ $0$
$a + 0$ $=$ $0$
$a$ $=$ $0$
$II 0 \cdot a + 1 \cdot b$ $=$ $0$
$0 + b$ $=$ $0$
$b$ $=$ $0$
$\Rightarrow a = 0, b = 0$ . Das bedeutet, das Gleichungssystem ist nur gelöst für $a = b = 0$ und somit sind $\vec{v_{1}}$ und $\vec{v_{2}}$ linear unabhängig.
$\vec{v_{1}} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \end{array}), \vec{v_{2}} = (\begin{array}{c} 4,5 \\ - 3 \end{array})$
- linear abhängig
- linear unabhängig
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren $\vec{v_{1}}$ und $\vec{v_{2}}$ sind linear unabhängig, wenn du zwei Zahlen $a, b \in ℝ$ finden kannst, sodass $a \cdot \vec{v_{1}} + b \cdot \vec{v_{2}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})$ und $a$ und $b$ nicht beide gleichzeitig $0$ sind.
Setz die gegebenen Vektoren ein.
$a \cdot (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} 4,5 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array})$
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$ .
$\begin{array}{cccccc} I & (- 3) \cdot a & + & 4,5 \cdot b & = & 0 \\ II & 2 \cdot a & + & (- 3) \cdot b & = & 0 \end{array}$
Löse das lineare Gleichungssystem.
$I (- 3) \cdot a + 4,5 \cdot b$ $=$ $0$
$- 3 a + 4,5 b$ $=$ $0$ $+ 3 a$
$4,5 b$ $=$ $3 a$ $: 3$
$a$ $=$ $1,5 b$
Setze nun $a = 1,5 b$ in $II$ ein.
$II 2 \cdot a + (- 3) \cdot b$ $=$ $0$
↓
Setze $a = 1,5 b$ ein.
$2 \cdot (1,5 b) - 3 b$ $=$ $0$
↓
Vereinfache
$3 b - 3 b$ $=$ $0$
$0$ $=$ $0$
Die Gleichung ist immer erfüllt. Also müssen $a$ und $b$ nur die Gleichung $a = 1,5 b$ erfüllen. Für beispielsweise $b = 1$ und $a = 1,5 \cdot 1 = 1,5$ ist die Gleichung also erfüllt und somit sind $\vec{v_{1}}$ und $\vec{v_{2}}$ linear abhängig.
$\vec{v_{1}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 9 \end{array}), \vec{v_{2}} = (\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ - 2 \end{array}), \vec{v_{3}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
- linear abhängig
- linear unabhängig
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren $\vec{v_{1}}$ , $\vec{v_{2}}$ und $\vec{v_{3}}$ sind linear unabhängig, wenn du drei Zahlen $a, b, c \in ℝ$ finden kannst, sodass
$a \cdot \vec{v_{1}} + b \cdot \vec{v_{2}} + c \cdot \vec{v_{3}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $a$ , $b$ und $c$ gleichzeitig $0$ sind.
Setze die gegebenen Vektoren ein.
$a \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 8 \\ 9 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 7 \\ - 2 \end{array}) + c \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ , $b$ und $c$ .
$\begin{array}{cccccccc} (I) & 3 \cdot a & + & 4 \cdot b & + & 2 \cdot c & = & 0 \\ (II) & 8 \cdot a & + & 7 \cdot b & + & 2 \cdot c & = & 0 \\ (III) & 9 \cdot a & - & 2 \cdot b & + & 2 \cdot c & = & 0 \end{array}$
Löse das lineare Gleichungssystem zum Beispiel mit dem Additionsverfahren.
Rechne:
$(II) - (I) \Rightarrow (I^{'}) : 5 \cdot a + 3 \cdot b = 0$
$(III) - (II) \Rightarrow (I I^{'}) : a - 9 \cdot b = 0$
Rechne: $3 \cdot (I^{'}) + (I I^{'}) \Rightarrow 16 \cdot a = 0 \Rightarrow a = 0$
Setze $a = 0$ in $(I^{'})$ ein $\Rightarrow 5 \cdot 0 + 3 \cdot b = 0 \Rightarrow b = 0$
Setze $a = 0$ und $b = 0$ in $(I)$ ein $\Rightarrow 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot c = 0 \Rightarrow c = 0$
Es ist also $a = 0, b = 0, c = 0$ . Das bedeutet, das Gleichungssystem wird nur gelöst für $a = b = c = 0$ und somit sind $\vec{v_{1}}$ , $\vec{v_{2}}$ und $\vec{v_{3}}$ linear unabhängig.

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$I (- 3) \cdot a + 4,5 \cdot b$	$=$	$0$
$- 3 a + 4,5 b$	$=$	$0$	$+ 3 a$
$4,5 b$	$=$	$3 a$	$: 3$
$a$	$=$	$1,5 b$

$II 2 \cdot a + (- 3) \cdot b$	$=$	$0$
	↓	Setze $a = 1,5 b$ ein.
$2 \cdot (1,5 b) - 3 b$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache
$3 b - 3 b$	$=$	$0$
$0$	$=$	$0$