Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit

Bestimme die Skalare, sodass der Vektor $\vec{u}$ eine Linearkombination der Vektoren $\vec{v_{i}}$ ist.

$\vec{u} = (\begin{array}{c} 7 \\ 12 \end{array}), \vec{v_{1}} = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 5 \end{array}), \vec{v_{2}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ \frac{2}{3} \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
Zu bestimmen sind die Skalare $a, b \in ℝ$ , sodass gilt
$\vec{u} = a \cdot \vec{v_{1}} + b \cdot \vec{v_{2}}$ .
Setze die gegebenen Vektoren ein.
$(\begin{array}{c} 7 \\ 12 \end{array}) = a \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ - 5 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ \frac{2}{3} \end{array})$
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$ .
$\begin{array}{cccccc} I & 7 & = & - 5 \cdot a & + & (- 1) \cdot b \\ II & 12 & = & - 5 \cdot a & + & \frac{2}{3} \cdot b \end{array}$
$\Rightarrow a = - 2, b = 3$ .
$\vec{u} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}), \vec{v_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}), \vec{v_{2}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
Zu bestimmen sind die Skalare $a, b \in ℝ$ , sodass gilt
$\vec{u} = a \cdot \vec{v_{1}} + b \cdot \vec{v_{2}}$
Setze die gegebenen Vektoren ein.
$(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}) = a \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array})$
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a$ und $b$ .
$\begin{array}{cccccc} I & 1 & = & 1 \cdot a & + & 2 \cdot b \\ II & 1 & = & 2 \cdot a & + & 1 \cdot b \end{array}$
$\Rightarrow a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{3}$ .
$\vec{u} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 5 \\ 6 \end{array}), \vec{v_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}), \vec{v_{2}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), \vec{v_{3}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Linearkombination
Zu bestimmen sind die Skalare $a, b, c \in ℝ$ , sodass gilt
$\vec{u} = a \cdot \vec{v_{1}} + b \cdot \vec{v_{2}} + c \cdot \vec{v_{3}}$
Setze die gegebenen Vektoren ein.
$(\begin{array}{c} - 3 \\ 5 \\ 6 \end{array}) = a \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + c \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen $a, b$ und $c$ .
$\begin{array}{ccccccc} I & - 3 & = & 1 \cdot a & + & 1 \cdot b & + & 1 \cdot c \\ II & 5 & = & 1 \cdot a & + & 1 \cdot b \\ III & 6 & = & 1 \cdot b & + & 1 \cdot c \end{array}$
$\Rightarrow a = - 9, b = 14, c = - 8$ .

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