B5

Bestimme diesen Wert von $a$

Der Punkt $P(1|e)$ liegt auf dem Graphen von $f_a$.

$f_a(1)=1\cdot {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\cdot a\cdot 1^2+\frac{1}{2}}={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\cdot a+\frac{1}{2}}$

$\Rightarrow e={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}\cdot a+\frac{1}{2}}\Rightarrow -\frac{1}{2}\cdot a+\frac{1}{2}=1\Rightarrow a=-1$

Der Wert von $a=-1$.

Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $P$

Es ist $f_{-1}(x)=x\cdot {\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{1}{2}}$.

Die 1. Ableitung von $f_{-1}(x)$ ist:

$f_{-1}^{\prime }(x)=(1+x^2)\cdot {\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{1}{2}}\Rightarrow f_{-1}^{\prime }(1)=(1+1^2)\cdot {\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}\cdot 1^2+\frac{1}{2}}=2\cdot e^1=2\cdot e=m_t$

Die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $P$ ist $m_t=2\cdot e$.