A2

Aufgabe 5

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n = 100$ und $p$ .

Der Erwartungswert von $X$ ist 50.

Berechnen Sie die Standardabweichung von $X$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Standardabweichung
Berechne die Standardabweichung von $X$
Gegeben: Der Erwartungswert von $X$ ist $50$ und $n = 100$ .
Mit diesen Angaben kann zunächst $p$ berechnet werden:
$μ = n \cdot p \Rightarrow p = \frac{μ}{n} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ .
Für die Standardabweichung $σ$ gilt:
$σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$
Die Standardabweichung von $X$ ist $σ = 5$ .
Gegeben: Der Erwartungswert von $X$ ist $50$ und $n = 100$ .
Mit diesen Angaben kann $p$ berechnet werden.
Berechne dann $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ .
Die Wahrscheinlichkeit $P (X \geq 61)$ beträgt etwa $2 %$ .
Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P (40 \leq X \leq 60)$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P (40 \leq X \leq 60)$
Vorausgesetzt wird, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wegen $p = \frac{1}{2}$ symmetrisch um den Erwartungswert liegt.
Mit dieser Annahme ist also $P (X \leq 39) = P (X \geq 61)$
Die Wahrscheinlichkeit $P (X \geq 61)$ beträgt etwa $2 %$ , d.h. $P (X \leq 39)$ beträgt somit auch $2 %$ .
Andererseits ist $P (X \leq 60) = 1 - P (X \geq 61) = 1 - 0,02 = 0,98$ .
Somit ist dann: ⁣ $P (40 \leq X \leq 60) = P (X \leq 60) - P (X \leq 39) = 0,98 - 0,02 = 0,96$ .
Der zugehörige Wert für die Wahrscheinlichkeit $P (40 \leq X \leq 60)$ ist $0,96$ .
Vorausgesetzt wird, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wegen $p = \frac{1}{2}$ symmetrisch um den Erwartungswert liegt.
Mit dieser Annahme ist also $P (X \leq 39) = P (X \geq 61)$
Berechne dann $P (40 \leq X \leq 60) = P (X \leq 60) - P (X \leq 39)$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

A2

Aufgabe 5

Berechne die Standardabweichung von X

Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit P(40≤X≤60)

Berechne die Standardabweichung von $X$

Bestimme unter Verwendung dieses Wertes den zugehörigen Wert für die Wahrscheinlichkeit $P (40 \leq X \leq 60)$