B1

Aufgabe 4

Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}$ .

Die 1. Ableitung ist $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .

Die Gerade mit der Gleichung $y = x$ wird als "1. Winkelhalbierende" bezeichnet. Es gibt genau einen Punkt $R$ auf dem Graphen von $f$ , in dem die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist.

Ermitteln Sie rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$ .
$[$ Mögliche Lösung: Falls man auf vier Stellen nach dem Komma rundet, ergibt sich für die Tangente $t_{R}$ als Gleichung $y = x - 0,3823$ . $]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$
Bekannt ist, dass die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist $\Rightarrow m_{t} = 1 \Rightarrow t_{R} : y = 1 \cdot x + b$ .
Gesucht ist nun eine Stelle $x_{t}$ an der $f^{'} (x_{t}) = 1$ ist:
Löse die Gleichung $10 \cdot (2 - x_{t}) \cdot e^{- x_{t}} = 1$ .
Der CAS-Rechner liefert als Lösung $x_{t} \approx 1,5355924...$ .
Berechne $f (x_{t}) = f (1,5356) \approx 1,1532885... \Rightarrow R (1,5356 | 1,1533)$ .
Setze die Koordinaten von $R$ in $t_{R} : y = x + b$ ein:
$t_{R} : 1,1533 = 1,5356 + b \Rightarrow b = 1,1533 - 1,5356 = - 0,3823$
Die Tangentengleichung lautet $t_{R} : y = x - 0,3823$ .
Bekannt ist, dass die Tangente $t_{R}$ an den Graphen von $f$ parallel zur 1. Winkelhalbierenden ist. Welche Steigung hat dann die Tangente? $\Rightarrow m_{t}$
Gesucht ist eine Stelle $x_{t}$ an der $f^{'} (x_{t}) = m_{t}$ ist.
Der CAS-Rechner liefert als Lösung dieser Gleichung einen Wert $x_{t}$ .
Berechne $f (x_{t}) = y_{t} \Rightarrow R (x_{t} | y_{t})$ .
Setze die Koordinaten von $R$ in $t_{R} : y = m_{t} \cdot x + b$ ein und löse nach $b$ auf.
Die Gerade mit der Gleichung $y = - x$ wird als "2. Winkelhalbierende" bezeichnet.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden.
(2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden
Bestimme den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden
Gegeben sind $t_{R} : y = x - 0,3823$ und $y = - x$ .
Für die Berechnung des Schnittpunktes löse die Gleichung $x - 0,3823 = - x$ nach $x$ auf $\Rightarrow 2 x = 0,3823 \Rightarrow x \approx 0,1912$ .
Setze $x = 0,1912$ in $t_{R} (x)$ ein $\Rightarrow y = 0,1912 - 0,3823 \approx - 0,1912$
Der Schnittpunkt $S$ der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden hat die Koordinaten $S (0,1912 | - 0,1912)$ .
Gegeben sind die Tangentengleichung $t_{R}$ und die Gleichung der 2. Winkelhalbierenden $y = - x$ .
Für die Berechnung des Schnittpunktes löse die Gleichung $t_{R} = y \Rightarrow x_{1}$
Setze $x_{1}$ in $t_{R} (x)$ ein $\Rightarrow y_{1} \Rightarrow S (x_{1} | y_{1})$ .
Ermitteln Sie rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte berechnen
Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat
Die 1. Winkelhalbierende verläuft durch den Koordinatenursprung.
Die 2. Winkelhalbierende steht im Koordinatenursprung senkrecht auf der 1. Winkelhalbierenden.
Der Schnittpunkt $S$ der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden hat die Koordinaten $S (0,1912 | - 0,1912)$ .
Gesucht ist also der Abstand von $S$ zum Koordinatenursprung:
$d = | \vec{O S} | = \sqrt{(0,1912 - 0)^{2} + (- 0,1912 - 0)^{2}} \approx 0,2704$
Der Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat, beträgt rund $0,2704 LE$ .
Bekannt ist der Schnittpunkt $S (x_{1} | y_{1})$ .
Bestimme den Abstand des Schnittpunktes vom Koordinatenursprung, d.h. den Betrag des Vektors $\vec{O S}$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

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Aufgabe 4

Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente tR

Bestimme den Schnittpunkt der Tangente tR mit der 2. Winkelhalbierenden

Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente tR von der 1. Winkelhalbierenden hat

Ermittle rechnerisch eine Gleichung für die Tangente $t_{R}$

Bestimme den Schnittpunkt der Tangente $t_{R}$ mit der 2. Winkelhalbierenden

Ermittle rechnerisch den Abstand, den die Tangente $t_{R}$ von der 1. Winkelhalbierenden hat