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Aufgabe 6

Pia hat eine Dartscheibe geschenkt bekommen. Sie trifft im Mittel zu etwa $80 %$ die Dartscheibe. Die Zufallsgröße X: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ wird im Folgenden als binomialverteilt mit $p = 0,8$ angenommen.

Pia wirft genau $100$ -mal auf die Dartscheibe.

Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$
Es ist $E (X) = n \cdot p = 100 \cdot 0,8 = 80$ und $σ (X) = \sqrt{100 \cdot 0,8 \cdot (1 - 0,8)} = \sqrt{16} = 4$
Der Erwartungswert von $X$ beträgt $80$ und die Standardabweichung von $X$ beträgt $4$ .
Berechne $E (X) = n \cdot p$ und $σ (X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ .
Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Pia genau 80-mal die Dartscheibe trifft, davon zehnmal in den ersten zehn Würfen. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Pia genau 80-mal die Dartscheibe trifft, davon zehnmal in den ersten zehn Würfen
Die ersten $10$ Würfe sind Treffer: ${0,8}^{10}$
Dann bleiben $90$ Würfe übrig, bei denen sie $70$ -mal treffen muss:
Es ist $P (X = 70) = binomPdf (90,0.8,70) = (\binom{90}{70}) \cdot {0,8}^{70} \cdot {0,2}^{20}$ .
Das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten ist der gesuchte Term:
${0,8}^{10} \cdot (\binom{90}{70}) \cdot {0,8}^{70} \cdot {0,2}^{20}$
Die ersten $10$ Würfe sind Treffer: ${0,8}^{10}$
Dann bleiben $90$ Würfe übrig, bei denen sie $70$ -mal treffen muss.
Berechne $P_{90; 0,8} (X = 70)$ .
Das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten ist der gesuchte Term.
Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft, und begründen Sie anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100 %$ beträgt. (1 P + 1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft
$P (mindestens einmal die Dartscheibe treffen) = 1 - P (keinmal die Dartscheibe treffen)$
Die Dartscheibe nicht zutreffen ist gleich $1 - 0,8 = 0,2$ und die Wahrscheinlichkeit, die Dartscheibe 100-mal nicht zu treffen beträgt dann ${0,2}^{100}$ .
$P (mindestens einmal die Dartscheibe treffen) = 1 - {0,2}^{100}$
Der Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft, lautet $1 - {0,2}^{100}$ .
Begründe anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100 %$ beträgt
${0,2}^{100}$ ist eine „sehr kleine“ positive Zahl, die nahezu den Wert $0$ hat.
Daher gilt: $1 - {0,2}^{100} \approx 1 = 100 %$ .
Teil 1
Die Dartscheibe nicht zutreffen ist gleich $1 - 0,8 = 0,2$ .
Die Wahrscheinlichkeit, die Dartscheibe 100-mal nicht zu treffen, beträgt dann ${0,2}^{100} .$
$P (mindest. eimal die D-Scheibe treffen) = 1 - P (keinmal die D-Scheibe treffen)$

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

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Aufgabe 6

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X

Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass Pia genau 80-mal die Dartscheibe trifft, davon zehnmal in den ersten zehn Würfen

Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass sie mindestens einmal die Dartscheibe trifft

Begründe anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu 100% beträgt

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$

Begründe anhand des Terms, dass diese Wahrscheinlichkeit nahezu $100 %$ beträgt