A2

Aufgabe 2

Eine Funktionenschar $f_{k}$ ist gegeben durch die Gleichung

$f_{k} (x) = \frac{1}{k} \cdot x \cdot e^{- k^{2} \cdot x}, x \in ℝ, k \in ℝ, k \neq 0$ .

Zeigen Sie rechnerisch: $f_{k}^{'} (x) = (- k \cdot x + \frac{1}{k}) \cdot e^{- k^{2} \cdot x}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Zeige rechnerisch: $f_{k}^{'} (x) = (- k \cdot x + \frac{1}{k}) \cdot e^{- k^{2} \cdot x}$
Gegeben ist $f_{k} (x) = \frac{1}{k} \cdot x \cdot e^{- k^{2} \cdot x}$ .
Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:
$f_{k}^{'} (x) = \frac{1}{k} (1 \cdot e^{- k^{2} \cdot x} + x (- k^{2}) \cdot e^{- k^{2} \cdot x})$
$f_{k}^{'} (x) = \frac{1}{k} \cdot e^{- k^{2} \cdot x} (1 - k^{2} x) = (- k x + \frac{1}{k}) \cdot e^{- k^{2} \cdot x}$
Also ist $f_{k}^{'} (x) = (- k x + \frac{1}{k}) \cdot e^{- k^{2} \cdot x}$ .
Berechne die 1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel.
Im Folgenden können Sie verwenden: $f_{k}^{''} (\frac{1}{k^{2}}) = - k \cdot e^{- 1}$ .
Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^{2}}$ ein Minimum besitzen. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Zeige, dass $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist
Gegeben ist $f_{k}^{''} (\frac{1}{k^{2}}) = - k \cdot e^{- 1}$ .
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei $x = \frac{1}{k^{2}}$ ist $f_{k}^{'} (\frac{1}{k^{2}}) = 0$ .
Es ist $f_{k}^{'} = (- k x + \frac{1}{k}) \cdot e^{- k^{2} \cdot x}$ (Aufgabe a).
Setze $x = \frac{1}{k^{2}}$ ein: $f_{k}^{'} (\frac{1}{k^{2}}) = (- k \cdot \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{k}) \cdot e^{- k^{2} \cdot \frac{1}{k^{2}}} = (- \frac{1}{k} + \frac{1}{k}) \cdot e^{- 1} = 0 \cdot e^{- 1} = 0$ für alle $k \neq 0$ .
Wegen $f_{k}^{''} (\frac{1}{k^{2}}) = - k \cdot e^{- 1} \neq 0$ für alle $k \neq 0$ ist $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar.
Untersuche, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^{2}}$ ein Minimum besitzen
Für ein Minimum muss $f_{k}^{''} (\frac{1}{k^{2}}) > 0$ sein.
$\Rightarrow f_{k}^{''} (\frac{1}{k^{2}}) = - k \cdot e^{- 1} > 0 \Leftrightarrow k < 0$ .
Damit besitzen genau die $f_{k}$ mit $k < 0$ ein Minimum an der Extremstelle $\frac{1}{k^{2}}$ .
Teil 1
Weise nach: Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei $x = \frac{1}{k^{2}}$ ist $f_{k}^{'} (\frac{1}{k^{2}}) = 0$ . Beachte $f_{k}^{''} (\frac{1}{k^{2}}) = - k \cdot e^{- 1} \neq 0$ .
Teil 2
Es ist $f_{k}^{''} (\frac{1}{k^{2}}) = - k \cdot e^{- 1}$ .
Für ein Minimum muss $f_{k}^{''} (\frac{1}{k^{2}}) > 0$ sein.
Was folgt daraus für den Wert von $k$ ?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

A2

Aufgabe 2

Zeige rechnerisch: fk′(x)=(−k⋅x+1k)⋅e−k2⋅x

Zeige, dass 1k2 eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist

Untersuche, für welche Werte von k die Funktionen der Schar an der Stelle 1k2 ein Minimum besitzen

Zeige rechnerisch: $f_{k}^{'} (x) = (- k \cdot x + \frac{1}{k}) \cdot e^{- k^{2} \cdot x}$

Zeige, dass $\frac{1}{k^{2}}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist

Untersuche, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^{2}}$ ein Minimum besitzen