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Aufgabe 3

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen

$\begin{aligned} f (x) = (x - 3) \cdot e^{x}, x \in ℝ, \\ h (x) = x - 3, x \in ℝ . \end{aligned}$

Bestimmen Sie rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h$ .
$[$ Zur Kontrolle: Die Schnittstellen sind $x = 0$ und $x = 3$ . $]$ (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h$
$f (x) = h (x) \Leftrightarrow (x - 3) \cdot e^{x} = x - 3 \Leftrightarrow (x - 3) \cdot (e^{x} - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 3 = 0 \lor e^{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \lor x = 0$
Die Graphen der Funktionen $f$ und $h$ schneiden sich an den Stellen $x = 3$ und $x = 0$ .
.
Löse die Gleichung $f (x) = h (x)$ .
Zwischen den Schnittstellen verläuft der Graph von $h$ oberhalb des Graphen von $f$ .
Die Funktion $D (x) = (4 - x) \cdot e^{x} + 0,5 \cdot x^{2} - 3 \cdot x$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d (x) = h (x) - f (x)$ .
Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird
Für den Flächeninhalt gilt:
$\int_{0}^{3} d (x) d x = D (3) - D (0) = ((4 - 3) \cdot e^{3} + 0,5 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3) - 4 \cdot e^{0}$
$\int_{0}^{3} d (x) d x = e^{3} + 4,5 - 9 - 4 = e^{3} - 8,5$
Der Flächeninhalt beträgt $(e^{3} - 8,5) FE$ .
Berechne mit der Stammfunktion $D (x)$ das Integral $\int_{0}^{3} d (x) d x$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

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Aufgabe 3

Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen f und h

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen h und f eingeschlossen wird

Bestimme rechnerisch die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $h$

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $h$ und $f$ eingeschlossen wird