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Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch

die Beschichtung fehlerfrei sind. Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4,5 %$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0,045$ ist.

In einer Untersuchung werden $500$ Schrauben zufällig der Produktion entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben genau $15$ Schrauben fehlerhaft sind. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben genau $15$ Schrauben fehlerhaft sind
Die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion ist binomialverteilt mit $p = 0,045$ und $n = 500$ .
Berechne $P (X = 15) = binomPdf (500, 0.045, 15) \approx 0,0238$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben genau $15$ Schrauben fehlerhaft sind, beträgt rund $2,38 %$ .
Berechne $P (X = 15)$ .
Ermitteln Sie, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 %$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreimal-Mindestens-Aufgaben
Ermittele, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 %$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind
Mit $p = 1 - 0,045 = 0,955$ gilt:
Gesucht wird der kleinste Wert für $n$ mit $P_{n; 0,955} (X \geq 200) \geq 0,95$ .
Der TR liefert $P_{214; 0,955} (X \geq 200) = binomCdf (214, 0.955, 200,214) \approx 0,9388$ und $P_{215; 0,955} (X \geq 200) = binomCdf (215, 0.955, 200,215) \approx 0,9652$ .
Es müssen also mindestens $215$ Schrauben kontrolliert werden.
Gesucht wird der kleinste Wert für $n$ mit $P_{n; 0,955} (X \geq 200) \geq 0,95$ .
Probiere mehrere Werte für $n$ aus.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das? serlo.org

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Aufgabe 2

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben genau 15 Schrauben fehlerhaft sind

Ermittele, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens 200 dieser Schrauben fehlerfrei sind

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Schrauben genau $15$ Schrauben fehlerhaft sind

Ermittele, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 %$ mindestens $200$ dieser Schrauben fehlerfrei sind