A2

Gib die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ an

Die beiden Schnittstellen können aus der Abbildung entnommen werden.

Die beiden Schnittstellen der Graphen der Funktionen $f$ und $g$ sind $x=0$ und $x=3$.

Zeige $D(x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$

Wenn $D(x)$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ ist, dann muss $D^{\prime }(x)=d(x)$ sein.

Bilde die erste Ableitung von $D$ mit der Produktregel:

$D(x)=(4-x)\cdot {\mathrm{e}}^x+\mathrm{0,5}\cdot x^2-3\cdot x$

$\Rightarrow D^{\prime }(x)=-e^x+(4-x)\cdot e^x+x-3=-e^x\cdot (1-4+x)+x-3$

$\Rightarrow D^{\prime }(x)=-e^x\cdot (x-3)+x-3=(x-3)-(x-3)\cdot e^x=d(x)$

Damit ist $D(x)$ ist eine Stammfunktion der Funktion $d$.

Ermittele den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f$ und $g$ eingeschlossen wird

Für den Flächeninhalt gilt:

$${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x=D(3)-D(0)=((4-3)\cdot {\mathrm{e}}^3+\mathrm{0,5}\cdot 3^2-3\cdot 3)-4\cdot {\mathrm{e}}^0}$$

$${\displaystyle {\int }_0^{3}d(x)\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^3+\mathrm{4,5}-9-4=e^3-\mathrm{8,5}}$$

Der Flächeninhalt beträgt $({\mathrm{e}}^3-\mathrm{8,5})\mathrm{FE}$.